Taller3

TALLER 3: Derivadas parciales, diferenciabilidad y planos tangentes
C´
alculo en varias variables
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ın
Escuela de matem´
aticas
1. Halle los siguientesl´ımites interpret´
andolos como derivadas parciales:
(x + h)y sen(z) − xy sen(z)
h
y+h
x
y
ln
+ 3 ln
− ln
− 3 ln
x
y+h
x
b) l´ım
h−→0
h

a) l´ım

h−→0

x
y

2. Calcule las primeras derivas parciales delas siguientes funciones:
α) f (x, y) = xey/x
√
β) f (x, y, z) = x2 tan−1 ( 1 + y + z) + ln(1 + y + z)
x

cos(t2 ) dt

γ) f (x, y) =
y

xy

g(t) dt, donde g : R −→ R es una funci´on continua.

δ) f (x,y) =
x

3. Si f (x, y) =

4 − x2 − 4y 2 , halle fx (1, 0) y

fy (1, 0) e interprete estos n´
umeros como pendientes de rectas. Ilustre.

4. Sea f : R2 −→ R la funci´
on definida por


2

 (x2 + y2 ) sen
, (x, y) = (0, 0)
2
f (x, y) =
.
x + y2



0,
(x, y) = (0, 0)
a) Compruebe que las derivadas parciales
de f existen en todo punto de R2 .
b) Pruebe que f es diferenciable en (0,0).

5.Halle una ecuaci´
on para el plano tangente a
la gr´afica de f (x, y) = x cos(x) cos(y) en el
punto (0, π, 0).

6. Analice la diferenciabilidad de la funci´
on

2
2

 xy(x − y ) , (x, y) = (0, 0)
x2+ y 2
f (x, y) =


0,
(x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0).

7. Sea f : R2 −→ R la funci´
on definida por


x3

+ 1, (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2
.
f (x, y) =


1,
(x, y) = (0, 0)
a) Calcular lasderivadas parciales de f en el punto
(0, 0).
b) Pruebe que f no es diferenciable en (0,0).

8. Encuentre la ecuaci´
on del plano tangente a la superficie z = ex ln y en el punto (3, 1, 0).
9. El periodoT de un p´endulo con oscilaci´
ones peque˜
nas est´a dado por T =
p´endulo y g la gravedad. Sean L0 y g0 dadas y sean T0 =

L
, siendo L la longitud del
g

L0
. Encuentre una expresi´on linealaproximada
g0

de T para valores de L y g cercanos a L0 y g0 .
10. Halle la aproximaci´
on lineal de la funci´
on f (x, y) =
f (1,95, 1,08).

20 − x2 − 7y 2 en (2, 1) y util´ıcela para aproximar...