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Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Ciclo Básico
Profa.: Gabbriella González
Material en Revisión
Cálculo I
Tema 1: Números Reales. Geometría Analítica (Repaso)
1.1. Números Reales. Propiedades Generales. Desigualdades. Propiedades.
Inecuaciones Polinómicas y Racionales. Valor Absoluto. Propiedades del Valor
Absoluto. Ecuaciones e Inecuaciones con Valor AbsolutoClase1
Números Reales
R

N

I

Z
Q
Subconjuntos Notables de los Números Reales

Naturales (N)

0,1,2,3,  0  1,2,3, = 0  N*

Enteros (Z)

,3,2,1,0,1,2,3,  ,3,2,1  0  1,2,3, = Z-  0  Z+

Racionales (Q)




m

 m, n  Z  n  0 = (Fracciones) ó números cuya expresión decimal
n


1 5
es periódica, finita o infinita. Ejemplos: ; ;0,5; 2,3
2 3
Q = r / r 

1

Irracionales (I)
Números cuya expresión decimal es infinita no periódica o, equivalentemente, no existe un
cociente de números enteros que lo represente. Ejems.:

2 , , e, 3 , 

Reales (R)
R = Q  I; es decir, R es la reunión de los racionales e irracionales y una representación es
la recta real.
R
0
Propiedades generales de los números reales.Algebraicas: La suma, resta, multiplicación y división (en la división, siempre y cuando el
denominador sea distinto de cero) de números reales, siempre produce números reales; esto
es, los números reales forman un conjunto cerrado bajo las operaciones de suma (+,-) y
multiplicación (*, / ) algebraicas.
Completitud: La recta real es una sucesión infinita de puntos alineados, uno al lado delotro,
sin que queden agujeros. Existen suficientes números reales para completar la recta real.
De Orden: Los números reales están ordenados. Diremos que a menor que b (a < b) si b - a
> 0, es decir, positivo; lo que es equivalente a decir que b es mayor que a (b>a).
Desigualdades. Propiedades
Antes de comenzar a estudiar las desigualdades recordaremos conceptos como
conjunto, intervalo ynotación de intervalo, útiles para el trabajo con desigualdades:
a)
Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del
conjunto. Por ejemplo, R y los subconjuntos de R son conjuntos de números
reales y podemos escribir:
2  Q  2 no pertenece a Q

2  I  2 pertenece a I
2  R  2 pertenece a R
Nota: Si S y T son dos conjuntos, entonces S  T (S unión T) es el conjuntoformado
por los elementos de S junto con los elementos de T; S  T (S intersección T) es el
conjunto formado por los elementos comunes entre S y T; y el conjunto { } =  vacío
es aquel que no tiene elemento alguno (por ejemplo, Q  I =  )
b)
Intervalos: Cuando el conjunto es un segmento de recta o subconjunto de R
usamos la notación de intervalo. Suponiendo que a < b con a,b  R, losposibles intervalos se pueden clasificar como
Intervalo abierto: a , b   x  R / a  x  b
Intervalo cerrado: a , b  x  R / a  x  b

2

Intervalo semiabierto o semicerrado: a , b  x  R / a  x  b ó

a , b  x  R / a  x  b

Intervalo Infinito: a ,     x  R / x  a

  , a  x  R / x  a
  , a  x  R / a  x, a ,    x  R / x  a
  ,    R

Nota:  no es un número, en notación de intervalo, expresa la idea de un
intervalo que se prolonga indefinidamente, luego siempre es abierto.
Ejemplos:

 1, 2   x  R /  1  x  2
R



-1

0

2

3 ,    x  R / 3  x
R



0

3



Nota:  no es un número, en notación de intervalo, expresa la idea de un
intervalo que se prolongaindefinidamente, luego siempre es abierto.
c)

Desigualdades: (Propiedades) relaciones de la forma a < b con a,b  R, son las
que llamaremos desigualdades y algunas de sus propiedades son:
a. Si a < b, entonces a + c < b + c
b. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
c. Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c
d. Si a < b y c < 0, entonces a.c > b.c
e. Si 0 < a < b, entonces

1 1
 , más aun, si a...