Tarea 1 Espacios Y Operadores Lineales

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA
IELE 4009 SISTEMAS LINEALES DE MULTIPLES VARIABLES (2010-I)
Alumno: Israel Roncancio Reyes (200310964)

TAREA 1


1- Considerando:

[pic], [pic], [pic]

Hallar las representaciones de A con respecto a la base {b, Ab, A2b, A3b} y a la base {[pic], [pic], [pic], [pic]} respectivamente. Comentar los resultados.En primera instancia hemos de calcular los vectores de la base, esto es:

[pic]

Usando el teorema de Cayley-Hamilton sabemos que si el polinomio característico de A es p(λ)= λ4-7λ3+18λ2-20λ+8, entonces se cumple que:

[pic] (1.1)

A partir del anterior resultado se llega inmediatamente a:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Por lo tanto la representación de A con respecto a la base{b, Ab, A2b, A3b} es:

[pic] (1.2)


Ahora, para el segundo caso también hemos de calcular los vectores de la base, esto es:

[pic]

Empleamos de nuevo el resultado de (1.1) para obtener fácilmente que:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Se concluye que la representación de A con respecto a la base {[pic], [pic], [pic], [pic]} es:
[pic] (1.3)

Comparando los resultados obtenidosen (1.2) y (1.3) es evidente que las representaciones son iguales. Esto se debe a que la ecuación de (1.1) depende exclusivamente de la matriz A y no de la base que se elije (el teorema de Cayley-Hamilton garantiza este hecho), por ende cuando se hallan las expresiones de la forma Ax (siendo x un vector de la base) se mantienen las igualdades a pesar que el vector b se varía.


2- Sean :[pic], [pic], [pic]

Calcular los rangos y nulidades (dimensiones del espacio nulo) de las matrices A1, A2 y A3. Hallar las bases de los espacios imágenes y espacios nulos de estas mismas matrices.


a. Matriz A1

La matriz A1 mapea (R3, R) en sí mismo. Ya que por simple inspección es posible determinar que las tres columnas de la matriz son linealmente independientes(prueba de esto es que el determinante de la matriz es 26≠0), entonces el rango de A1, ρ(A1), es igual a 3. Los vectores columnas de la matriz, al ser linealmente independientes son una base del espacio imagen.

Si definimos un vector de variables x, tal como se muestra a continuación:

[pic] (2.1)

Llegamos a una ecuación que nos permite determinar que un vector x, cumple A1x=0 si y sólo sisatisface el siguiente sistema de ecuaciones:

[pic] (2.2)

Ya que la matriz A1 es no singular (y por tanto invertible) la solución a (2.2) se halla fácilmente despejando a x de (2.1).

[pic] (2.3)

El resultado que se muestra en (2.3) es obvio si toma en cuenta el corolario 2-5 de [1], en el que se establece que el número de vectores linealmente independientes de la solución de A1x=0 esigual a n - ρ(A1). Como en nuestro caso n=3 y ρ(A1)=3 entonces la única solución a A1x=0 es la trivial. No obstante se realizó un planteamiento completo y riguroso para ser usado en los demás razonamientos con las matrices A2 y A3.

Se concluye que el espacio nulo es el vector [0 0 0]’ y por consiguiente la dimensión del espacio nulo, la nulidad, es 0. Es decir ν(A1)=0, lo cual está de acuerdocon el teorema 2-5 de [1].


b. Matriz A2

Así como en el caso anterior, la matriz A2 también mapea (R3, R) en sí mismo. Sin embargo en este caso es posible determinar que sólo dos de las tres columnas de la matriz son linealmente independientes (prueba de esto es que el determinante de la matriz es 0, luego es una matriz singular), entonces el rango de A2, ρ(A2), es igual a 2. Los dosúltimos vectores columnas de la matriz al ser linealmente independientes, son una base del espacio imagen.

Si definimos un vector de variables x, tal como se muestra a continuación:

[pic] (2.4)

Llegamos a una ecuación que nos permite determinar que un vector x, cumple A2x=0 si y sólo si satisface el siguiente sistema de ecuaciones:

[pic] (2.5)

Ya que el número de componentes de...