Tarea 1

Introducci´n al An´lisis Funcional o a Tarea 2 Series de Fourier Martes 16 de octubre de 2012 Entregar: Viernes 26 de octubre de 2012. Nombre: INSTRUCCIONES:Escribe las respuestas en el orden que se hicieron las preguntas, con letra legible y utilizando la notaci´n apropiadamente. o Justifica todos tus argumentosde forma clara y precisa. Escribe claramente tus conclusiones. Se calificar´ ortograf´ a ıa.

(1) [10 puntos] Encuentra la serie de Fourier de f (t) = |t| para(−π, π) y f (t + 2π) = f (t). Muestra su gr´fica mostrando m´ a ınimamente tres periodos. (2) [20 puntos] Demuestra que para f (t) = f (t + T ), se tiene que 1T 1 [f (t)] dt = T −T /2
2 T /2

1 [fp (t)] dt + T −T /2
2

T /2

T /2

[fi (t)]2 dt,
−T /2

donde fp (t) y fi (t) son las componentes par eimpar de f (t) respectivamente. (3) [10 puntos] Sea f (t) = f (t+T ). Si f ( 1 T −t) = f (t), determina el com2 portamiento de los coeficientes de Fourier. Ilustrarf (t) gr´ficamente. a (4) [20 puntos] Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de cosenos y trazar una gr´fica de la correspondienteextensi´n a o peri´dica de f (t): o (a) f (t) = t, 0 < t < π, (5) [10 puntos] Demostrar que (a) f (t)δ(t − t0 ) = f (t0 )δ(t − t0 ), (c) δ (−t) = −δ (t), (b) tδ (t)= −δ (t), (d) δ (n) (−t) = (−1)n δ (n) (t). (b) f (t) = sen
π t l

, 0 < t < l.

(6) [20 puntos] Utilizar la diferenciaci´n para encontrar la serie deFourier o de la onda sinusoide rectificada f (t) = |Asen(ω0 t)|.
1

(7) [10 puntos] Utilizar la diferenciaci´n para encontrar la serie de Fourier o de