TAREA 4 aNALISIS

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
UNIDAD ZACATENCO

GAUSS-JORDAN
TAREA 4

TAPIA AGUILAR HELIN ITZAYANI

4CV10










GAUSS - JORDAN
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso detransformación hasta obtener una matriz diagonal.

Análisis de su complejidad
La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es de aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es del orden de n3 si el tamaño de la matriz es n × n.
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna,intercambiarlo con otro que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón nocero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro(llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida
Ejemplo
Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadaselementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuaciónsumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 vecesla tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: , es decir, que no tiene solución.
Formaescalonada y escalonada reducida
Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:
1. Todas las filas 1 están en la parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote"; éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los...