tarea 4

Tarea 4 Procesos Estoc´asticos
Felipe Su´arez Colmenares
Ejericio 1
1. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Sean A, B, C, D eventos en F con probabilidades positivas. Sea
P A (E) := P (E|A).Veamos que
P (C ∩ D|A ∩ B)
P A∩B∩C (D) =
.
P (C|A ∩ B)
En el caso que P (A ∩ B ∩ C) = 0, entonces directamente P A∩B∩C (D) = P (D|A ∩ B ∩ C) =
P (A∩B∩C∩D)/P (A∩B)
P (A∩B∩C)/P (A∩B)
A∩B∩C

P

P(C∩D|A∩B)
P (C|A∩B)

P A∩B (C∩D)
P A∩B (D)
A∩B

=
=
(D) = 0 y lo mismo pasa con P

A∩B

=P
(D|C) = 0.

P (A∩B∩C∩D)
P (A∩B∩C)

=

(D|C). En el caso que P (A ∩ B ∩ C) = 0, entonces

Ejercicio 2
1. Sea λ > 0, p ∈ [0,1]. Sea X ∼ P oiss(λ) y sean (Yi )i∈ω ∼ Bern(p), q := 1 − p. Suponga que
S = Y1 + · · · + YX .
Veamos que S ∼ P oiss(λp).
Para k ∈ N,
P (S = k) =

P (S = k|X = i)P (X = i) =
i≥k

i≥k

=
j≥0

i k i−k−λ i
p q e λ /i!
k
j + k k j −λ j+k
p q e λ /(j + k)!
k

= e−λ (λp)k /k!

q j λj /j!
j≥0

= e−λ eλq (λp)k /k! = e−λp (λp)k /k!
Por ende S ∼ P oiss(λp).
(X=i)
. Note, adem´as, que para i < k, P (S =
2.E(X|S = k) = i≥0 iP (X = i|S = k) = i≥0 i P (S=k|X=i)P
P (S=k)
k|X = i) = 0. Entonces la anterior suma es igual a,

(ki ) pk qi−k e−λ λi
i i!/k!
=
pk
e−λp λk

(X=i)
i P (S=k|X=i)P
=
P (S=k)
i≥k

i≥ki−k

−λq
i (qλ)
.
(i−k)! e
i≥k

i−k

j

λq
−λq
3. Finalmente note que i≥k i (qλ)
= j≥0 (j + k) (qλ)
= e−λq (keλq + λqeλq ) = k + λq. Este resultado
(i−k)! e
j! e
quiere decir que E(X|S) = S + λq, y sepuede interpretar de la siguiente manera, si s´e de antemano que la
cantidad de caras de un lanzamiento es k entonces por lo menos debo haber tenido k lanzamientos. Adem´
as,
para completar la cantidadtotal de lanzamientos, debo tener S caras y X − S sellos. O sea que en promedio
habr´
an E(X − S) sellos y por eso la cantidad esperada de lanzamientos es S + E(X − S).

1

Ejercicio 3
Sean X, Zvariables aleatoras sobre (Ω, F, P ). Se define V ar(X|Z) = E(X 2 |Z) − E(X|Z)2 .
1. Veamos que que V ar(X|Z) = E((X −E(X|Z))2 |Z). Primero recuerde de la definici´on de esperanza condicional...