Tarea De Numeros Complejos

Tarea N◦ 1 Números Complejos.
Manuel Arturo Abril, 11 del 2011.

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Tarea N◦ 1 - Números Complejos. Manuel Arturo Reyes

Ejercicios.

1. Encontrar los w que satisfacen: (a) w5 = 1 − i (b) w4 = −16 2. Calcular y encontrar las partes principales para: (a) (1 + i )i (b) (1 − i )4i 3. Resolver... √ ez = 1 + 3i 4. Calcular las 4 raíces de z4 + 4 = 0 y usarlas para factorizar z4 + 4 losfactores cuadráticos en coeficietes reales.

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Soluciones.
1. Encontrar los w que satisfacen: a) w5 = 1 − i y b) w4 = −16 (a) w5 = 1 − i w=

\

√ 5

√ 5

1−i
1

w = (1 − i ) 5 Se tiene que: |(1 − i )| =

√

2 y Arg (1 − i ) = − π 4

Para raíces enésimas se tiene lo siguiente: z n = |z| n · e n
1 1 i

Argz

· {e

2kπi n; k = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}

Luego tenemos que: w = 2 10 · ei 5
1 1 1

(− π ) 4
π

· {e

2kπi 5

; k = 0, 1, 2, 3, 4} , e
4πi 5

w = 2 10 · ei(− 20 ) · {1, e w = 2 10 · ei(− 20 ) {1, e
1 π

2πi 5

, e

6πi 5

, e

8πi 5

}

2πi 5

, e

4πi 5

, e

6πi 5

, e

8πi 5

}

Los w que satisfacen la ecuación son: w1 =
10

√

2 · ei(− 20 ) · 1 =

π10

√

π π 2 · (cos − 20 + i sin − 20 )

∴ w1 =
w2 =
10

10

√

2(cos −
10

√

2 · ei(− 20 ) · ei(

π

2π 5 )

=
10

√

π π + i sin − ) 20 20

2 · (cos 7π + i sin 7π ) 20 20 7π 7π + i sin ) 20 20

∴ w2 =

√

2(cos

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w3 =

10

√

2 · ei(− 20 ) · ei(

π

4π 5 )

=
10

10

√

2 ·(cos 15π + i sin 15π ) 20 20 3π 3π + i sin ) 4 4

∴ w5 =
w4 =
10

√

2(cos
10

√

2 · ei(− 20 ) · ei(

π

6π 5 )

=

√

2 · (cos 23π + i sin 23π ) 20 20 23π 23π + i sin ) 20 20

∴ w4 =
w5 =
10

10

√

2(cos
10

√

2 · ei(− 20 ) · ei(

π

8π 5 )

=

√

2 · (cos 31π + i sin 31π ) 20 20 31π 31π + i sin ) 20 20

∴ w5 =

10

√

2(cos

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TareaN◦ 1 - Números Complejos. Manuel Arturo Reyes

(b) w4 = −16 w4 = −16 √ w = 4 −16

√ \4

Se tiene que: | − 16| = 16 y Arg (−16) = −π Para raíces enésimas se tiene lo siguiente: z n = |z| n · e n
1 1 i

Argz

· {e

2kπi n

; k = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}

Luego tenemos que: w = 16 4 · e 4
π 1 i

Arg(−π )

· {e
πi

2kπi 4

; k = 0, 1, 2, 3}
3πi

w = 2 · ei(− 4 ) · {1, e 2, eπi , e 2 } Los w que satisfacen la ecuación son: w1 = 2 · ei(− 4 ) · 1 = 2 · (cos − π + i sin − π ) 4 4
π

∴ w1 = 2(cos
π π

−π −π + i sin ) 4 4

w2 = 2 · ei(− 4 ) · ei( 2 ) = 2 · (cos π + i sin π ) 4 4

∴ w2 = 2(cos
π

π π + i sin ) 4 4

w3 = 2 · ei(− 4 ) · ei(π ) = 2 · (cos 3π + i sin 3π ) 4 4

∴ w3 = 2(cos
w4 = 2 · ei(− 4 ) · ei(
π 3π 2 )

3π 3π + i sin ) 4 4

= 2 ·(cos 5π + i sin 5π ) 4 4
5π 5π + i sin ) 4 4

∴ w4 = 2(cos

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2. Calcular y encontrar las partes principales para:a) (1 + i )i y b) (1 − i )4i (a) (1 + i )i

(1 + i )i es de la forma zc , donde zc = ec·ln z = ec{ln |z|+i (1 + i )i = ei·ln(1+i) (1 + i )i = ei{ln( (1 + i )i = ei{ln( (1 + i )i = ei ln(
√ √
2)+i arg(1+i )} 2)+i { π +2kπ;4
π

arg z} .

k∈ Z }} k∈ Z }}

√

2)

· ei{·i{ 4 +2kπ;

√ √ π ∴ (1 + i )i = (cos( 2) + i sin( 2)) · e{− 4 −2kπ;

k∈ Z}

Además, se tiene que la parte principal de (1 + i )i es:

√ √ π ρρ[(1 + i )i ] = (cos( 2) + i sin( 2)) · e− 4

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(b) (1 − i )4i

(1 − i )4i = e4i·ln(1−i) (1 − i )4i = e4i·ln |1−i|+i (1 − i )4i =e4i·{ln( (1 − i )4i = ei·{ln(
√
arg(1−i ) k∈ Z }} k∈ Z}

2)+i {− π +2kπ; 4
π

√

2)4 }

· e−4{− 4 +2kπ;

∴ (1 − i )4i = (cos(ln(4)) + i sin(ln(4)) · e{π −8kπ;

k∈ Z}

Además, se tiene que la parte principal de (1 − i )4i es: ρρ[(1 − i )4i ] = (cos(ln(4)) + i sin(ln(4)) · eπ

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3. Resolver... √ ez = 1 + 3i Aplicando ln...