Tarea. Ecuaciones Diferenciales

Asignaci´n 1. Matem´ticas Avanzadas o a
Manuel Iv´n L´pez Yee a o February 18, 2012

1
1.1
1.

Problemas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales y graficar su resultado.
d2 y dx2 dy + 2 dx + 5y = cos x. Sujeta a: y (0) = 1; y(0) = −1 s s2 +1

=s2 y − s(−1) − 1 + 2s¯ + 2 + 5¯ = ¯ y y y= ¯
s (s2 +1)(s2 +2s+25)

−

s s2 +2s+25

−

1 s2 +2s+25

s (s2 +1)(s2 +2s+25)

=AS+B s2 +1

+

CS+D (s+1)2 +4

A = 1/5; B = 1/10; C = −1/5; D = −1/2; =
cos(t) 5

+

sen(t) 10

−

e−t cos(2t) 5

+

e−t sen(2t) 10

−

e−t sen(2t) 4

s L−1 ( s2 +2s+25 ) = −e−t cos(2t) + 1 L−1 ( s2 +2s+25 ) = − e
−t sen(2t)

e−t sen(2t) 2

2

Sumando t´rminos: e y= y = 2.
d2 y dx2 cos(t) 5 cos(t) 5

+ +

sen(t) 10 sen(t) 10

− 6( e

−t cos(2t)

5

)− 3( e

−t sen(2t)

20

) )

− 9( e

−t cos(2t)

10

) + 51( e

−t sen(2t)

20

+ 25y = cos 5x. Sujeta a: y (0) = −1; y(0) = 1 (eλx ) + 25eλx = 0 = (λ)2 eλx Sustituyendo en la Ec. 1

=

d2 dx2

d2 (eλx ) dx2

(λ)2 eλx + 25eλx = 0 Para cualquier λ finito: λ1 = 5i; λ2 = −5i;

y1 (x) = C1 e5ix ; y2 (x) = C2 e−5ix ; y(x) = y1 (x) + y2 (x) Aplicando la identidad de Eulery(x) = (C1 + C2 )Cos(5x)+i(C1 − C2 )Sen(5x); La soluci´n complementaria es entonces: o yc (x) = C2 Sen(5x)+C1 Cos(5x) Por Coeficientes indeterminados: y1 (x) = x(a2 Sen(5x)+a1 Cos(5x)) = −10a1 Sen(5x)−25a2 xSen(5x)+10a2 Cos(5x)−25a1 xCos(5x) Desarrollando e igualando los coeficientes de Cos(5x) en ambos lados: a2 = 1/10; a1 = 0; Sustituyendo a1 y a2 en y1 ; y1 (x) =
xSen(5x) 10 xCos(5x) 2

= −5C1Sen(5x)+5C2 Cos(5x)+ Sen(5x) + 10

Si y(0) = 1 y sustituimos en y(x), nos queda C1 = 1 y (0) = -1; C2 = −1/5 y= y = 3.
d2 y dx2 (x−2) 10 Sen(5x)+Cos(5x) −49Sen(5x) 10

+

xCos(5x) −Cos(5x) 2

dy + 2 dx + y = ex . Sujeta a: y (0) = 1; y(0) = −1 1 s−1

= s2 y − s(−1) − (−1) + 2s¯ + 2 + y = ¯ y ¯ y= ¯
(−s2 +2) (s−1)(s2 +2s+1)

2

Por fracciones parciales, =
A s−1

+

BS+C s2+2s+1

A = 1/4; B = −5/4; C = −7/4; y= y = 4.
d2 y dx2 et 4 et 4

− +

5e−t 4 3e−t 4

− +

te−t 2 te−t 2

+ y = 0. Sujeta a: y(− π ) = −1; y( π ) = +1 4 4 (eλx ) + eλx = 0 = (λ)2 eλx Sustituyendo en la Ec.

=

d2 dx2

d2 (eλx ) dx2

(λ)2 eλx + eλx = 0 Para cualquier λ finito: λ1 = i; λ2 = −i;

y1 (x) = C1 eix ; y2 (x) = C2 e−ix ; y(x) = y1 (x) + y2 (x) Aplicando la identidad deEuler y(x) = (C1 + C2 )Cos(x)+i(C1 − C2 )Sen(x); Resolviendo usando condiciones iniciales: = −C1 Sen(x)+C2 Cos(x) Sustituyendo los valores frontera en y(x) y y’(x) respectivamente y = (C1 + y= 5.
d2 y dx2

√

2)Sen(x)+C1 Cos(x)

√

2Sen(x)

− y = cos x. Sujeta a: y(−1) = −1; y(1) = 1

3

2
2.1

Contesta correctamente las siguientes preguntas.
¿Cu´les son las caracter´ aısticas que debe cumplir una funci´n para o poderse determinar su transformaci´n de Laplace? o

Sea f:[0, +∞)→Cuna funci´n localmente integrable, esto es, que exista la integral de o Riemman de ’f’ en todo intervalo compacto [0,a] ⊂ [0, +∞). Se define la transformada de Laplace de ’f’ en z ∈ C como:
∞ −zt f (t) dt 0 e

Siempre que tal integral impropia exista. En conclusi´n: o Para determinar laexistencia de la transformada de Laplace para S cualquiera se deben de tomar en cuenta las siguientes condiciones: 1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo [0, +∞). 2. Ser de orden exponencial α. α de una funci´n o

2.2

¿Qu´ es el n´ cleo de una transformaci´n integral? e u o

En general se define una transformaci´n integral, F(S), de una funci´n f(t) como: o o F(S) =
b a K(s,t) f(t)dt

Donde K(s, t) es una funci´n conocida de ’s’ y de ’t’; denominada el n´cleo o kero u nel de la transformaci´n. Si ’a’ y ’b’ son finitos, la transformaci´n se dir´ finita, de lo o o a contrario infinita. Dependiendo de la selecci´n del n´cleo y los l´ o u ımites tendremos distintas transformaciones integrales.

Cada una de estas transformaciones entonces depende de la funci´n ’K’...