Tarea

172

Tema 15. INTEGRALES IMPROPIAS 15.1 Integraci´n de funciones acotadas en recintos no acotados o 15.2 Integraci´n de funciones no acotadas en recintos acotados o 15.3 Integraci´n de funciones no acotadas en recintos no acotados o 15.4 Convergencia absoluta de integrales impropias 15.5 Propiedades de la integral impropia 15.6 Las funciones gamma y beta de Euler

´ Matematicas

Integralesimpropias

173

1
1.1

INTEGRALES IMPROPIAS
´ INTEGRACION DE FUNCIONES ACOTADAS EN RECINTOS NO ACOTADOS
´ DEFINICION

1.1.1

Sean a ∈ IR y f una funci´n real de una variable integrable en el o intervalo [a, M ], para todo M > a. Si el l´ ımite
M →+∞ a

lim

M

f (x) dx

existe y es finito, se dice que la integral impropia de primera especie
+∞ a

f (x) dx

esconvergente, y se define
+∞ a

f (x) dx = lim

M

M →+∞ a

f (x) dx.

En caso contrario, se dice que es divergente.
1.1.2 ´ DEFINICION

Sean b ∈ IR y f una funci´n real de una variable integrable en el o intervalo [m, b], para todo m < b. Si el l´ ımite
m→−∞ m

lim

b

f (x) dx

existe y es finito, se dice que la integral impropia de primera especie
b −∞

f (x) dx

´ MatematicasIntegrales impropias

174

es convergente, y se define f (x) dx = lim −∞
b b m→−∞ m

f (x) dx.

En caso contrario, se dice que es divergente.
1.1.3 ´ DEFINICION

Sea f : IR → IR integrable en el intervalo [m, M ], para cualesquiera m, M ∈ IR. Si las dos integrales impropias f (x) dx −∞
a

y

+∞ a

f (x) dx

son convergentes para alg´n a ∈ IR, entonces se dice que la integral uimpropia de primera especie
+∞ −∞

f (x) dx

es convergente y
+∞ −∞

f (x) dx =

f (x) dx + −∞

a

+∞ a

f (x) dx.

En caso contrario, se dice que es divergente.
1.1.4 VALOR PRINCIPAL DE CAUCHY

Sea f : IR → IR integrable en el intervalo [−M, M ], para todo M ∈ IR. Al l´ ımite sim´trico e
M →+∞ −M

lim

M

f (x) dx
∞ −∞

se le denomina valor principal de Cauchy def (x) dx.

´ Matematicas 1.1.5 ´ PROPOSICION

Integrales impropias

175

Si la integral impropia −∞ f (x) dx es convergente, entonces su valor coincide con el valor principal de Cauchy; es decir,
+∞ −∞

+∞

f (x) dx = lim

M

M →+∞ −M

f (x) dx.

1.1.6

´ OBSERVACION +∞

El valor principal de Cauchy puede existir cuando

divergente. Por ejemplo, la integral impropia−∞ x dx es divergente, pero su valor principal de Cauchy es igual a cero.
1.2 ´ INTEGRACION DE FUNCIONES NO ACOTADAS EN RECINTOS ACOTADOS
´ DEFINICION

−∞ +∞

f (x) dx es

1.2.1

Sea f una funci´n real de una variable que no est´ acotada en un o a entorno del punto a y que es integrable en [a + ε, b], para todo ε > 0 tal que a + ε < b. Si el l´ ımite
ε→0

lim+
b a

b a+ε

f (x) dxexiste y es finito, se dice que la integral impropia de segunda especie f (x) dx
b a+ε

es convergente, y se define
b a

f (x) dx = lim+
ε→0

f (x) dx.

´ Matematicas

Integrales impropias

176

En caso contrario, se dice que es divergente.
1.2.2 ´ DEFINICION

Sea f una funci´n real de una variable que no est´ acotada en un o a entorno del punto b y que es integrable en [a, b −ε], para todo ε > 0 tal que a < b − ε. Si el l´ ımite
ε→0

lim+
b a

b−ε a

f (x) dx

existe y es finito, se dice que la integral impropia de segunda especie f (x) dx

es convergente, y se define
b a

f (x) dx = lim+
ε→0

b−ε a

f (x) dx.

En caso contrario, se dice que es divergente.
1.2.3 ´ DEFINICION

Sea f una funci´n real de una variable que no est´ acotada en o a unentorno del punto c ∈ (a, b) y es integrable en los intervalos [a, c − α] y [c + β, b], para cualesquiera α > 0 y β > 0 tales que a < c − α y c + β < b. Si las dos integrales impropias
c a

f (x) dx y

b c

f (x) dx

´ Matematicas

Integrales impropias

177

son convergentes, entonces se dice que la integral impropia de segunda especie b f (x) dx a es convergente y
b a

f...