tarea

1. Modelo 1. Ejercicio 3 de la Opción A de Sobrantes de 2010
 
Considera el sistema 3x − 2y + z = 5
2x − 3y + z = −4

(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación
x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado.
(b) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución?Solución
(a)
Para que al añadirle la ecuación x + y + λz = 9, sea un sistema compatible indeterminado, tenemos que tener rango(A) = rango(A*) < 3, que es el nº de incógnitas, siendo:

la matriz de los coeficientes del sistema y la matriz ampliada.

En A como , el rango de A ya es 2.
Para que el rango de A no sea 3 su determinante (|A|) tiene que ser 0.

|A| = λ(-3-2) = -5λ =0, de donde λ =0.

Veamos que con λ = 0 rango(A*) = 2.

En como ,
por tener una fila de ceros, tenemos rango(A*) = 2.
(También se podría calcular el valor de este determinante por la regla de Sarrus)

Si λ ≠ 0 por el Teorema de Rouche al ser rango(A) = rango(A*) = 3 = nº de incógnitas, el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

Si λ = 0 por el Teorema de Rouche alser rango(A) = rango(A*) 2 < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones.

(b)
En este ejercicio no hay ningún valor de λ para el cual el sistema sea incompatible y no tenga solución, pues tendría que darse rango(A)  rango(A*), lo cual no es nuestro caso.

2. Modelo 1. Ejercicio 3 de la Opción B de Sobrantes de 2010

Considera las matrices A = y B=

(a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa.
(b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1.
(c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.

Solución
(a)
Para que A tenga inversa A -1 = (1/|A|).Adj(At), su determinante ( |A| ) no puede ser cero.

|A| = 0 -2(3-3α) + α(1-2α) = -2α2 + 7α - 6.

Si |A| = 0, tenemos +2α2 + 7α– 6 = 0, y salen como soluciones α = 2 y α = 3/2,
por tanto si α  2 y α  3/2, existe la matriz inversa de A

(b)
Inversa de A para α = 1
A = , A -1 = (1/|A|).Adj(At).
Teniendo en cuenta el resultado del apartado (a) tenemos que

|A| = -2(1)2 + 7(1) – 6 = -1

At = ; Adj(At) = ; A -1 = (1/|A|).Adj(At) =

(c)
Para α = 1 existe A -1 y podemos multiplicar por la izquierda laexpresión A.X = B,

Obteniendo A -1. A.X = A -1. B,

de donde I.X = X = A -1. B =

. =

3. Ejercicio 3 de la Opción A de Junio de 2010

Sean las matrices
A = , B = y C =

(a) [0'5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.
(b) [2 puntos] Resuelve la ecuación XA – Bt = C para m = 0. (Bt es la matriz traspuesta de B)

Solución
A = ,      B =      y      C =
(a)
A es invertible si y solamente si det(A) = |A| ≠ 0.

det(A) = |A| = = 1(-m2 - 3) – 0 + (-1)(-4m) = -m2 + 4m – 3.

Si |A| = 0, -m2 + 4m – 3 = 0. Resolviendo esta ecuación nos sale m = 1 y m = 3.

Para m ≠ 1 y m ≠ 3, A es invertible y existe A-1.

(b)
Resuelve la ecuación XA – Bt = C para m = 0.

XA = Bt + C. Como existe A-1 multiplicamos ambos miembros por la derechapor A-1.

XAA-1 = (Bt + C)A-1, operando nos queda X = (Bt + C)A-1.

Calculamos A-1, con m = 0
A -1 = (1/|A|).Adj(AT)

A = , det(A) = |A| = = (-3)(1) = – 3.

At = , Adj(At) = , A -1 = (1/|A|).Adj(AT) =

Calculamos (Bt + C) = + =

X = (Bt + C)A-1 =

4. Ejercicio 3 de la Opción B de Junio de 2010

Sea el siguiente sistema de ecuaciones λx + y + z = λ + 2
2x - λy + z = 2
x -y + λz = λ

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de λ. ¿Tiene siempre solución?
(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = -1.

Solución
(a)
La matriz de los coeficientes del sistema es y la matriz ampliada .

Si det(A) = |A|  0, rango(A) = rango(A*) = 3. El sistema es compatible y determinado y tiene solución única.


(λ)(-λ2+1) – (1)(2λ-1) + (1)(-2+λ) = - λ3 - 1. (Lo...