Tarea

PRODUCTO PUNTO DEFINICIÓN si y es el número y dado por , entonces el producto punto de

Ejemplo: (2, 4) . (3, -1) = 2(3) + 4(-1)= 2 (-1, 7, 4). (6, 2, ½) = (-1)(6) + 7(2) + 4(-1/2) = 6 PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO si un escalar, entonces 1. 3. 2. 4. , son vectores en y es

se le pude dar una interpretación geométrica en términos Al producto punto del ángulo θ entre que se define como elángulo entre las representaciones de que empiezan en el origen donde 0 ≤ θ ≤ π.

TEOREMA si θ es el ángulo entre los vectores

entonces

DEMOSTRACIÓN si se aplica la ley de los cosenos al triángulo OAB En la figura 1, se obtiene

B

A O θ

Pero se convierte en

,

y

de modo que la ecuación 4

Al usar las propiedades 1, 2 y 3 del producto punto, se puede reescribir el ladoizquierdo de esta ecuación como sigue:

=

Por lo tanto, la ecuación 5 da

COROLARIO Si θ es el ángulo entre los vectores no nulos a y b, entonces

Ejemplo: Determine el ángulo entre los vectores

y

.

Solución. Puesto que =3 y =

Y puesto que

se tiene, del corolario 6,

Así que el ángulo entre a y b es …‘• Los vectores no nulos a y b se llama perpendiculares u ortogonales si elángulo entre ellos es . El teorema 3 da …‘• y a la inversa si , entonces , por lo tanto .

y

son ortogonales si y sólo si

Ejemplo: Muestre que

perpendicular a

SOLUCIÓN. Puesto que

2(5) + 2(-4) + (-1)(2) = 0

Estos vectores son perpendiculares por (7). Debido a que ve que , o si y y negativo para , si . se

es positivo para

ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES Los ángulos directoresde un vector a diferente de cero son los ángulos (en intervalo ) que a forma con los ejes positivos y (véase la figura 3). γ, se llaman cosenos ,

Los cosenos de estos ángulos directores,

directores de un vector a. si se emplea el corolario con en lugar de , se obtiene

(Esto se puede ver en la figura 3)

Figura 3

De manera similar, se tiene también

Al elevar al cuadrado lasexpresiones de las ecuaciones 8 y 9, y sumar, se ve que

Ejemplo: encuentre los ángulos de dirección del vector ƒ SOLUCIÓN: Puesto que , , las ecuaciones 8 y 9 dan

Y, por lo tanto, …‘•

…‘•

PROYECCIONES , entonces el Si es el pie de la perpendicular de a la línea que contiene a vector con representación  se llama vector proyección de sobre y se denota por ’”‘›ƒ . Puede pensarlo como unasombra de . La proyección escalar de sobre (llamada también la componente de a lo largo, de ) se define como la magnitud de la proyección vectorial, que es el número …‘• , donde es el ángulo entre y . La ecuación

muestra que el producto punto de y se puede interpretar como la longitud de a multiplicada por la proyección escalar de sobre .puesto que

R

b a p S |b| cos θ Q

Figura 5. Ejemplo:Un carrito es jalado una distancia de 100 m a lo largo de una trayectoria horizontal por una fuerza constante de 70N. la manija del carrito se mantiene a un ángulo de 35º sobre la horizontal. SOLUCIÓN: si y son los vectores de fuerza y desplazamiento, como se ilustra en la figura 7, entonces el trabajo hecho es …‘• …‘•  

PRODUCTO CRUZ El producto cruz de dos vectores y a diferencia delproducto punto, es un vector. Por esta razón se llama producto vectorial. Note que se define sólo cuando a y b son vectores tridimensionales. DEFINICIÓN: Si de y es el vector y , entonces el producto cruz

Un determinante de orden 3 se puede definir en términos de determinantes de segundo orden como sigue:

=

+

Si ahora se reescribe la definición 1 usando los determinantes de segundo orden ylos vectores base estándar i, j y k, se ve que el producto cruz de los vectores es

En vista de similitud de entre las ecuaciones 2 y 3, con frecuencia se escribe.

Ejemplo: Si

y

entonces

Π+

TEOREMA. El vector

es ortogonal a

y .

TEOREMA. Si θ es el ángulo entre

y

(de modo que

), entonces

COROLARIO. Dos vectores no nulos a y b son paralelos si y solo si...