Tarea

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12. PruCbcsc que cs posiblc trisccar el @lo

de 72".

13. PruCbcrie quc un mdgono regular no esconstructible.
*14. PruCbcrie quc el poligono regular dc 17 lados es umstructiblc.

Volvcmos a la cxposici6n general. Sea F u n campo y, como usualmente, F[x]el anillo dc 10s polinomios en x sobrc F.

D~PIHICI~H. = a o P + a l P - l + ... +al?-'+ ... + a m - , x + a . c Si f(x) s un polinomio en q x ] , cntonccs la derivada dc f(x), rcpresentada por f'(x), es el polinomio f'(x) = n a o P - l + ( n - l )a l P - l + ... +(n-i)a#-I-'+

... + o ; - ,

dc F [ x ] .

Dar e t d&ici6n o probar las propicdades b4sim formales dc la sa derivada en cuanto a polinomios sc refiere, no requicrc el concept0 dc Ilmite. Pcro, como el campo F es arbitrario, podcmos espcrar quc pasen algunas cosas cxtra2las. Por cjemplo, si F a dc caracterletica p 0 la derivada dcl polinomio x' cs pxn-' = 0. As1 pucs, elresultado com6n del d c u l o dc quc un polinomio cuya derivada cs cero dcbc ser una constante, no sigve sicndo vuido. Pcro si la caracterlstica de F c s 0 y sif'(x) = 0 para f ( x ) ~ F [ xcr cicrto que f(x) = a € F ] el problcma 1). Incluso cuando la caractcrlstica dc F cs p # 0 podemos a h describir lor polinomios con derivada a r o ; si f'(x) = 0 entonas f(x) cs un polinomio en xp (vhrie elproblcma 2). Probarnor ahora la8 anAlogas dc las rcglas formaks dc difmciaci6n quc tan bien conocemos.

+

case

LEMA 5.5. PWQ ~ l e s q u i e r a f ( x ) , ( x ) € q x ] y ~ l q u i c ~ E F g r

1) Cf(4 +g(x))' = f'(4 + g ' ( x ) ; 2) (af(x))' = aY(x); J) Cf(x)g(x))' f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

-

Prueba. Las pruebas dc las partcs (1) y (2) son extraordiumiimcnte feciles y se dqan comocjercicio. Para probar la partc (3) n6tcsc quc, & acuerdo w n la8 part- (1) y (2), cs suficicntc probarla en el caso muy espcial A x ) = X I y g ( x ) = xJ dondc tanto i wmo j son positives. Pcro mtonccs f(x)g(x) = x"', dc dondc Cf(x)g(x))' = ( i + j ) x'+'-'; pcro f'(x)g(x) = i 2 - l x J = ~ . + J - I y f(x)g'(x) = jx'xJ-' = jx'+I-'; dc don&, en consrmcnaa, f '(x)g(x)+f(x)gl(x)= (l+j)x'+'-' = Cf(x)g(x))'.16.

MAS ACERCA OE RAICES

116

Rccutrdcsc que en el c4lculo elemental sc mucstra la cquivalcncia cntrc la cxistencia dc una raiz multiple dc una funci6n y la anulaci6n simultanca de la funci6n y su derivada en un punto dado. lncluso dcntro dc nucstro actual rnarco, en el quc Fcsun carnpo arbitrario, existc una tal intcrrclaci6n.

LEMA 5.6. El polinomio f{x)eF[x] riene una raizmultiple si y sdlo si f(x) y f'(x) rienen un factor comun no rri13ial (es decir, de grado posiriro).
Prueba. Antes dc probar el lcha, parecc adecuado quc hagamos obxrvar quc si f(x) y g(x) en fix] ticnen un factor cornin no trivial en K[x], para una K extension dc F, cntonces tienen un factor comun no trivial en F[x]. En efecto, si fucran primos relativos como clcmcntos en FIX],cntonccs podrlanmcontrarsc dos polinomios a(x) y b(x) en F[x] tales quc a(x)f(x)+ b(x)g(x) = 1. Como esta rclaci6n tambitn se vcrifica para cstos elcmmtos vistos como elernmtos dc K[x], deberlan ser tambitn primos rclativos en Kbl. Vamos ahora con el lcma. Dc la observacion quc acabamos dc haccr podcmos suponer, sin pCrdida dc generalidad, quc las ralccs dc f(x) sc cncuentran todas en F (dc otra manera extendemos Fhasta K, el c a m p dc descomposici6n dc f(x)). Si f(x) ticnc urn raiz multiple a entones f(x) = (x-a)"q(x) donde m > I. Pcro, como puedc calcularx dc inmediato, ((x-a)")' = m(x-a)"- I , dc dondc, scgun el lcrna 5.5,f'(x) = (x-u)"q'(x) +m(x-a)*- ' q(x) = (x-a)r(x), ya quc rn > I . Pcro csto nos dice quc f(x) y f'(x) ticncn x-a como factor corntin, con lo quc el lcma queda probad0 en una direcci6n....