Tarea

Propósitos:
Continuar el estudio del concepto de derivada a través del manejo de su representación algebraica, buscando que el alumno reconozca a las reglas de derivación como un camino más eficaz de obtener la derivada de una función.

Aprendizajes a lograr por los educandos en la unidad:
• Obtiene la derivada de una función polinomial de 1ero, 2do o 3er grado utilizando la definición: f (x) − f (a) . f ′(a ) = lim x→a x−a • Identifica el patrón de comportamiento de las derivadas obtenidas con el límite del cociente de Fermat y encuentra la formula de la derivada de funciones del tipo f ( x) = cx n . • Calcula la derivada de funciones algebraicas usando la reglas de derivación • Reconoce la jerarquía de las operaciones involucradas en la regla de correspondencia de una función paraaplicar correctamente las reglas de derivación. • Identifica las relaciones existentes entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada. • Obtiene la velocidad instantánea como la derivada de la función de posición y la aceleración como la derivada de la velocidad. • Obtiene la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función. • Da significado a la derivada de unafunción en el contexto de un problema.

Para alcanzar el propósito y los aprendizajes especificados en el curso, los educandos realizarán ejercicios sobre la metodología de solución de problemas, misma que aplicarán en la solución de problemas. Los problemas están seleccionados de manera que primero se abordan los conceptos de manera intuitiva y posteriormente se procede a su formalización. Enla parte conceptual se hace énfasis en los puntos relevantes de los conceptos: Reglas de derivación (suma, producto cociente, regla de la cadena), Problemas de aplicación (cálculo de tangentes, cálculo de velocidades)

ww w.

M

at em

at

ic a1

.c

om

Estrategias de aprendizaje.
• Ejercita la técnica de derivación en las funciones algebraicas por medio de reglas y formulas dederivación. Es decir adquiere destreza en la aplicación de las formulas para obtener la derivada de funciones algebraicas.

Actividades de aprendizaje.
Interpretación geométrica de la derivada de una función. La derivada de una función se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de tangencia, (en la gráfica el punto T) y se definepor medio del límite: f ( x) − f (a) f ′(a ) = lim x →a x−a
Haciendo un cambio de variable, tomando h = x – a se puede llegar a un límite equivalente, conocido como límite de Newton: f ( x + h) − f ( x) f '( x ) = lim h →0 h

M

at em
10

Recta tangente
g(x) = 4⋅x+1

at
ww w.
Rectas secantes
8

ic a1

.c

om

Q((x+h),f(x+h))
6

f(x) = 6⋅x-x2

T(x,f(x))
4

2

-5

xx+h

5

f ( x + h) − f ( x ) es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos Q(x + h, f(x + h)) y h P( x, f(x))

Calculo de derivadas de funciones mediante la definición.

Funciones lineales Funciones cuadráticas Funciones cúbicas
f (x) = x
f (x) = 2 x f (x) = -3 x f (x) = m x

f (x) = x 2
f (x) = -2 x 2 f (x) = 3 x 2 f (x) = a x 2

f (x) = x 3
f (x) = -2 x 3 f (x)= 3 x 3 f (x) = a x 3

Derivada de la función constante f(x) = c

Derivadas de funciones lineales

1. Cálculo para la función f (x) = 2 x .

f ' ( x) = Lím
h →0

f ( x + h) − f ( x) 2( x + h ) − 2 x 2 x + 2h − 2 x 2h = Lím = Lím = Lím Lím 2 = 2 h→0 h →0 h→0 h h→0 h h h

2. Cálculo para la función f(x) = x __________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Cálculo para la función f(x) = -3x _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

ww w.

M

at em

f (x) = c, para cualquier constante c. f ( x + h) − f ( x ) c−c 0 f '( x ) = lim = lim = lim = lim(0) = 0 h →0 h→0 h→0 h h →0 h h Por lo que la...