tareas

Cap´tulo 7
ı
Algoritmos para integrar
ecuaciones diferenciales
ordinarias
´
En este cap´tulo se entrega una primera vision de un par de
ı
´
algoritmos sencillos, muy conocidos y faciles de codificar: los
de Runge-Kutta y los del tipo Verlet incluido leapfrog.

´
7.1. Reduccion a ecuaciones de primer orden
El problema de resolver
d2g
= F(t, g, g′)
2
dt
puede ser replanteado en laforma
dy
= f (t, y)
dt

+

(7.1.1)

´
alguna condicion inicial

(7.1.2)

donde
y=
es decir

g
y2

,

f=

y2
F

dy2
= F(t; (g, y2))
dt

dg
= y2 ,
dt
151

(7.1.3)

(7.1.4)

P. Cordero S. & R. Soto B.

Ecuaciones Difrenreciales Ordinarias

Se puede adivinar de lo anterior que siempre se puede reducir un problema de ecuaciones diferenciales ordinarias aun sistema de ecuaciones de
primer orden.
¨ 1
Por ejemplo x = m F puede plantearse definiendo
x
v

y=

f=

v
1
mF

(7.1.5)

con lo que el problema consiste en resolver
dv
1
= F
dt
m

dx
= v,
dt

(7.1.6)

´
´ ´
A continuacion se vera metodos para atacar (7.1.2).
´
´
En lo que sigue se supondra que el “eje tiempo”, t, esta segmentado en
˜ h y se usa la notacion:
´intervalos de tamano
t1 = h,

t2 = 2h,

...

tn = nh

´
El valor de una funcion f (t) evaluada en tn se designa fn .

7.1.1.

Algoritmos Runge-Kutta

Esta vez (7.1.2) se plantea en la forma
dy
= f (t, y)
dt
y(0) = y0
Y se usa dos expansiones de Taylor,
h2 ′′
yn + O(h3)
2
h
yn+ 1 ′ = yn ′ + yn ′′ + O(h2)
2
2

yn+1 = yn + h yn ′ +

(7.1.7)
(7.1.8)

De la ultima,multiplicada por h, se obtiene
´
h2 ′′
yn = yn+ 1 ′ − yn ′ h + O(h3 )
2
2
´
7.1. REDUCCION A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

(7.1.9)

´
Facultad de Ciencias F´sicas y Matematicas
ı

´
Mecanica

´
˜
version Ψ de otono 2011

153

Que se reescribe escribiendo fn+ 1 en lugar de yn+ 1 ′
2

2

h2 ′′
yn = fn+ 1 − yn ′ h + O(h3 )
2
2

(7.1.10)

´
Al reemplazar estaexpresion en (7.1.7) se cancelan las primeras derivadas
y se obtiene
h
h
yn+1 = yn + h f (tn + , yn + fn )
(7.1.11)
2
2
Este resultado final conocido como RK2, tradicionalmente se reescribe en
la forma

= h f (tn, yn )
 k1
1
RK2 k2
(7.1.12)
= h f (tn + h , yn + 2 k1 )
2

3)
yn+1 = yn + k2 + O(h

´
Se trata de un metodo expl´cito, el error es orden h3 y puede ser inestable.
ı
´Otra desventaja es que la funcion f debe ser llamada dos veces en cada
´
iteracion. Una ventaja es que, puesto que avanza paso a paso y no re´
˜
quiere de informacion anterior, se puede ir ajustando el tamano del paso
´
h a medida que se avanza en la integracion.

´
Siguiendo un camino semejante se obtiene algoritmos de mas alto orden.

= h f (tn , yn )
 k1


1
 k2
= h f (tn+ h , yn + 2 k1 )
2
(7.1.13)
RK3 k
= h f (tn + h, yn − k1 + 2k2 )
 3


 y
= y + 1 k + 4k + k + O(h4)
n+1


 k1



 k2


RK4 k3
 k
 4




 yn+1

n

6

1

2

3

= h f (tn , yn )
1
= h f (tn + h , yn + 2 k1 )
2
1
= h f (tn + h , yn + 2 k2 )
2
= h f (tn + h, yn + k3 )

(7.1.14)

= yn + 1 k1 + 2k2 + 2k3 + k4 + O(h5 )
6

VentajasdeRK4: es h5 , es estable, permite adaptar el paso. Tiene amplia
aplicabilidad.
´
Desventajas: se debe calcular f cuatro veces en cada iteracion.
Universidad de Chile

Escuela de Ingenier´a y Ciencias
ı

P. Cordero S. & R. Soto B.

Ecuaciones Difrenreciales Ordinarias

´
Sobre el paso variable. Para que el metodo sea preciso las magnitudes de
los ka deben ser mucho menores que δ ≡yn+1 − yn .

´
7.2. Metodo de Verlet y variaciones
Se trata de resolver ecuaciones de Newton
x = a(x,t)
¨

(7.2.1)

sin convertir el problema en otro con ecuaciones de primer orden como
´
se hizo antes. Estos metodos se definen cuando a(x,t) no depende de las
velocidades.
´
L. Verlet presento su algoritmo por primera vez en su trabajo Computer
“experiments” on classical fluids. I....