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Métodos Numéricos para Matrices
Las operaciones con matrices aparecen en distintos problemas de la física. Aunque el ejemplo
más conocido es el estudio de pequeñas oscilaciones en sistemas de muchos cuerpos, también se
utilizan en resolución de circuitos eléctricos y son fundamentales en mecánica cuántica.
Supongamos que queremos estudiar el espcro de vibraciones de una molécula con n gradosde
libertad. La primer aproximación consiste en investigar las oscilaciones armónicas del sistema, expandiendo la energía potencial hasta el segundo orden en las coordenadas generalizadas alrededor
de las posiciones de equilibrio:
U (q1 , q2 , . . . , qn ) ≈

1
2

Ajk qj qk
j,k

donde qi son las coordenadas generalizadas y Ajk son parámetros del potencial que usualmente
puedenobtenerse a partir de un cálculo de química cuántica. La energía cinética puede escribirse
en términos de las velocidades generalizadas q
˙
T (q1 , q2 , . . . , qn ) ≈
˙˙
˙

1
2

Mjk qj qk .
˙˙
j,k

Aplicando la ec. de Lagrange:
∂L
d ∂L
−
=0
∂qj
dt ∂ qj
˙
con L = T − U tenemos:

n

(Ajk qj + Mjk qj ) = 0
¨
j =1

con k = 1, 2, . . . , n. Realizando el reemplazo qj = xj eiωtobtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones homogéneo

n

(Ajk − Mjk ω 2 )xj = 0
j =1

que tiene solución no trivial si
det[A − Mω 2 ] = 0.
Este es un ejemplo sencillo en el cual es necesario calcular el determinante de una matriz, y poder
resolver un sistema de ecuaciones lineales.
En general, podemos dividir los métodos numéricos para matrices en dos grandes áreas:
• Resolución desistemas lineales.
1

• Diagonalización de matrices.
El cálculo de la matriz inversa A−1 de una matriz de n × n puede reducirse a la resolución de n
sistemas de ecuaciones lineales. Por otra parte, el cálculo del determinante de una matriz puede
realizarse a través de la descomposición en determinantes menores a lo largo de la columna j
n

(−1)i+j Aij det[Rij ]

det[A] =
i=1

dondeRij es la matriz de orden (n − 1) × (n − 1) que se obtiene removiendo la fila i y la columna j
de la matriz A. Este es un ejemplo de algoritmo recursivo, en el cual, para calcular el determinante
de orden n es necesario conocer el determinante de orden n − 1. Este es un ejercicio interesante
de programación, aunque, como veremos, no es la mejor forma de calcular el determinante.
En el cálculonumérico con matrices, es de fundamental importancia reconocer el costo computacional de cada operación a realizar. Usualmente, dada una matriz de tamaño n × n, el costo de
estas operaciones se mide en términos de la dimensión n de la matriz. La mayoría de los métodos
que veremos son de orden n3 . Entonces, por ejemplo, la diferencia en el número de operaciones
entre utilizar una matriz de 10 × 10y una de 12 × 12 es de: 123 − 103 = 1728 − 1000 = 728
operaciones. Es decir que un aumento pequeño en el tamaño de la matriz implica un incremento
de alrededor del 70% en el número típico de operaciones!!!!

I.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definiremos el sistema de ecuaciones lineales de la siguiente manera:
Ai1 x1 + Ai2 x2 + Ai3 x3 + . . . + Ain xn = bi
para i = 1, 2, . . . , n.Definiendo el vector de incógnitas x = (x1 , x2 , . . . , xn ) como una matriz de
n × 1, el sistema se puede escribir como
Ax = b.
Por ejemplo,









1 2 3   x1

−3 1 5   x2

2 4 −1



x3








=










3

−2  .

1



Antes de continuar, es conveniente definir las matrices triangulares superiores U tales que U ij= 0
para i > j y las matrices triangulares inferiores L con Lij = 0 para i < j .
2

A. El método de Gauss

Sabemos que existen diversas operaciones elementales que se pueden realizar en estos sistemas
de ecuaciones:
• Se pueden intercambiar el orden de dos ecuaciones
• Se puede reemplazar una ecuación por una combinación lineal de esta ecuación y otra.
• Se pueden intercambiar las...