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LA CUCHILLA DEL ZAPATERO ()>*/5F@  
Lección de preparación olímpica
Francisco Bellot Rosado
El triángulo curvilíneo formado por tres semicircunferencias mutuamente tangentes, con sus
centros alineados sobre la misma recta era conocida entre los antiguos griegos como ”árbelos”, que
significa ”cuchilla de zapatero”, por su similitud con la que utilizan esos profesionales para cortar
cuero.Según parece, fué Arquímedes el que primero la estudió, y posteriormente, fué también
tratada por Pappus, Vieta, Descartes, Fermat, Newton , Steiner y McKay, y ya en el siglo XX, por
(¡cómo no!) Victor Thébault, Leon Bankoff (el dentista de California), Clayton W. Dodge, Thomas
Schoch, Peter Y. Woo y Paul Yiu (estos dos últimos son los editores de una excelente revista
virtual de Geometría,Forum Geometricorum).
Consideremos un segmento AB, y sea C un punto cualquiera de su interior. Trazando, en un
mismo semiplano, los semicírculos de diámetros AB, AC y CB se obtiene el árbelos :

Nos proponemos enumerar y demostrar algunas de las numerosísimas propiedades
relacionadas con esta configuración ; se procurará utilizar únicamente herramientas matemáticas al
alcance de los estudiantesde Bachillerato o de Olimpiadas; para mayor profundización se puede
consultar la Bibliografía.
Se pueden encontrar en Internet páginas dedicadas al árbelos :
http://www.biola.edu/academics/undergrad/math/woopy/arbelos.htm
aunque las bellas imágenes animadas que en ella se incluyen no pueden imprimirse,
lamentablemente.
Quien no tema visitar una página en holandés puede verhttp://www.pandd.demon.nl/arbelos.htm,
donde están demostradas muchas propiedades de esta configuración.
Primeras propiedades del árbelos
Levantemos por C una perpendicular a AB hasta que corte a la circunferencia mayor en T.
Unamos C con A y con B. Sean X e Y las intersecciones con las dos circunferencias pequeñas.
Unamos X con Y, y sea O  CT 9 XY.

Entonces se verifica :
1)El cuadrilátero XCYT es unrectángulo.
2) XY es tangente a los círculos de diámetros AC y BC
3) El área del árbelos es igual a la del círculo de diámetro CT
Probaremos sucesivamente estas tres propiedades.
1) Como AXC  ATB  CYB  90º, por tratarse de ángulos inscritos que abarcan una
semicircunferencia, está claro que XCYT es un rectángulo. Esto tiene una consecuencia que nos
será útil más adelante :
1bis  XY y CT secortan en su punto medio O
Para probar 2) necesitamos considerar los centros D y E de los círculos de diámetros AC y CB.
Para demostrar que XY es tangente a los dos círculos, es suficiente que probemos que XY es
perpendicular a XD e YE (el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia). Para
ello razonamos de la siguiente manera :
XDC es isósceles, porque DX  DC (ambos sonradios); y OXC es isósceles también, porque
OX y OC son semidiagonales de un rectángulo. Entonces se tiene :
DXC  DCX, y CXO  OCX. Sumando,
DXY  DXC  CXO  DCX  OCX  DCT  90º, pues CT µ AB.
Así se demuestra que XY es tangente al círculo de diámetro AC. Análogamente se probaría
que es tangente al de diámetro CB.
Demostremos 3) : sean DA  r 1 , EC  r 2 ; sea O’ el punto medio de AB, ysea O U A  r.
Entonces se tiene :
AC  CB  AB

«

r 1  r 2  r.

Consideremos en primer lugar el área del árbelos :
Area arbelos  = Ÿr 2 " r 2 " r 2    =
1
2
2
2

r  r2  2 " r2 " r2
1
2

Ÿ 1

 =r 1 r 2 .

Por otra parte, el teorema de la altura (es decir, la semejanza entre los triángulos rectángulos
ACT y BCT) permite escribir
CT  CB
AC
CT

«

luego el áreadel círculo de diámetro CT vale

CT 2  AC • CB,

= CT
2

2

 = CT 2  = AC • CB  = 2r 1 2r 2  =r 1 r 2 ,
4

4

4

que es lo que queríamos demostrar.

El problema de San Valentín
En febrero de 1977, Leon Bankoff envió ”por San Valentín” a la revista canadiense CRUX
MATHEMATICORUM (entonces llamada EUREKA), el problema que mostramos en la siguiente
transparencia :
Si >...