Tareas

Universidad de San Carlos
Departamento de Matemática

Facultad de Ingeniería
Matemática Aplicada V

feb/12

Aplicaciones de los complejos en el análisis de circuitos de corriente alterna
en estado estacionario (borrador)
Prof. José Saquimux

El problema
Un problema típico a resolver en corriente alterna es. Dado el circuito serie RLC con
una excitación o tensión elemental aplicadasenoidal v(t )  Vmax sin(t  ) , o
v(t )  Vmax cos(t   ) usando complejos, determinar la corriente i  i(t ) , en estado
estacionario (la que queda después de haber sido cerrado el circuito). Vmax es la tensión
pico en voltios,  es la frecuencia o pulsación angular en radianes/segundo o
grados/segundo,  /  es el desfase de la onda en el tiempo. R es una resistencia en
ohmios , L esuna inductancia en Henrios H, C es una capacitancia en Faradios F.
R, 
i = i(t)
V(t) = Vmaxcos(t±)

L, H

C, F
1

0.5

1

2

3

4

-0.5

-1

Teoría
Fórmula de Euler
La serie de Taylor de la función exponencial real

es

Suponiendo que esta serie se mantiene válida para la exponencial compleja
tendríamos

Simplificando cada término y agrupando parte real eimaginaria tenemos

1

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Los términos entre paréntesis corresponden a las series de Taylor de
respectivamente, por lo que tenemos la llamada fórmula de Euler

y

Notemos que de esta fórmula tenemos

Funciones cost y sin t en términos de e jt
De la fórmula de Eulersustituyendo  por  t

e j  cos  j sin  ,
e jt  cost  j sin t

usando álgebra y trigonometría tenemos

e  jt  e j (t )  cos(t )  j sin(t )  cost  j sin t
así tenemos las identidades complejas básicas

e jt  cost  j sin t

(1)

e  jt  cost  j sin t

(2)

Sumando lado a lado (1) y (2) y despejando cost obtenemos

cost 



1 jt
e  e  jt
2

(3)

Restando lado a lado (1) – (2) y despejando sin t obtenemos

sin t 



1 jt  jt
e e
2j



(4)

Multiplicando cada lado de (3) y (4) por Vm ax (voltaje máximo) quedan

Vmax cost 



Vmax j t
e  e  j t
2



(4)

2

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Vmax sint 



Vmax j t
e  e  j t
2j



(5)

En (4) y (5) sustituyendo a  t por t   , o equivalentemente sumando  a  t donde
y
 es constante que no depende de t, tenemos que las tensiones
se pueden representar en términos de exponenciales complejas así





(6)





(7)

Vmax cos(t   ) 

Vmax j ( t  )  j ( t  )
e
e
2

Vmax sin(t   ) Vmax j ( t  )  j ( t  )
e
e
2j

Usando álgebra de exponentes en (6) y (7) tenemos que las tensiones
y
se pueden representar también así,

Vmaxe j jt Vmaxe  j  jt
Vmax cos(t  ) 
e
e
2
2



(8)

Vmaxe j jt Vmaxe  j  jt
Vmax sin(t  ) 
e
e
2j
2j



(9)









Usando la fórmula de Euler, o bien multiplicando (9) por y sumandoesta ecuación con
(8) obtenemos

De la que vemos que las tensiones alternas
pueden representar también así,

y

se

Equivalencia de fuentes

3

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Aplicar la fuente real v(t )  Vmax cos(t   ) a un circuito matemáticamente es
equivalente a aplicar en serie las dosfuentes complejas: v1 (t ) 

Vmaxe j  jt
.
v1 (t ) 
e
2





Vmaxe j jt
y
e
2



R, 
v1(t) = Vmaxej(ej t )/2

i = i1(t) + i2(t)

L, H

v2(t) = Vmaxej(e-j t)/2
C, F
De manera similar aplicar la fuente real v(t )  Vmax sin(t   ) a un circuito es

Vmaxe j jt
equivalente a aplicar en serie las dos fuentes complejas: v1 (t ) 
y
e
2j
V e j ...