tareas

Escuela de Matemáticas de la UJED

Cálculo I
Lista 1(Propiedades básicas de los números)
1. Demostrar lo siguiente:
a) Si ax = a para algún número a 6= 0, entonces x = 1:
b) x2

y 2 = (x

33

c) x

y = (x

y) (x + y) :

y) x2 + xy + y 2 :

2. ¿Dónde está el fallo en la siguiente demostración? Sea x = y: Entonces
x2
x
y2
(x + y) (x y)
x+y
2y
2
2

=
=
=
=
=
=xy;
xy y 2 ;
y (x y) ;
y;
y;
1:

3. Demostrar lo siguiente:
a)
b)

a
b
a
b

ac
bc ; si b; c 6= 0:
c
ad+bc
d =
bd ; si b; d
1
1
1

=
+

6= 0:

c) (ab) = a b , si a; b6= 0: (Para hacer esto falta tener presente cómo
1
se ha de…nido (ab) ).
d)

a
b

c
d

e)

a
b
c
d

=

=
ad
bc ;

ac
db ;

si b; d 6= 0:

si, b; c; d 6= 0:

4. Si a 2 Rsatisface a a = a; demostrar que a = 0 o a = 1:
5. Encontrar todos los números x para los que
a) 4

x 0:

2

d) x + x + 1 > 2:
e)
f)

1
1
x + 1 x >
x 1
x+1 > 0:

0:

1

6.Demostrar que si 0 < a < b; entonces
a<

p

ab <

p
Nótese que la desigualdad ab
la suposición adicional a < b.

a+b
< b:
2

(a + b) =2 se cumple para a; b

0, sin

7. Dese una expresiónequivalente de cada una de las siguientes utilizando
como mínimo una vez menos el signo de valor absoluto.
p
p
p
p
a)
2+ 3
5+ 7 :
b) j(ja + bj
2

jaj

2

jbj)j :

2xy + y :

c) x8. Encontrar todos los números x para los que se cumple:
a) jx

3j = 8:

b) jx

3j < 8:

d) jx

1j + jx

c) jx + 4j < 2:

e) jx

2j > 1

1j jx + 1j = 0

9. Demostrar lossiguiente:
a) jxyj = jxj jyj :

b)

1
x

1
jxj ;

=

si x 6= 0. (La mejor manera de hacer esto es recordando el

signi…cado de jxj

c)

jxj
jyj

=

d) jx

x
y

1

).

; si y6= 0:

yj

jxj + jyj

10. Determinar y trazar el conjunto de pares (x; y) de R
(a) jxj = jyj

(b) jxj + jyj = 1
(c) jxyj = 2

(d) jxj
(e) jxj

jyj
jyj

2

R que satisfagan:...