tareas

Cap´
ıtulo 1

Tensores

En lo que sigue se asume un conocimiento elemental del c´lculo vectorial.
a
Las ideas que desarrollaremos en esta secci´n, adem´s de proveer herrao
a
mientas de c´lculo muy eficientes, admiten generalizaciones posteriores de
a
utilidad en varias ´reas de la f´
a
ısica y la matem´tica.
a

1.1
1.1.1

Vectores y covectores
Vectores. Vectores Base ytransformaciones de coordenadas.

Sea P un punto en Rn y denotemos por x al vector cuyas componentes son
las coordenadas (x1 , · · · , xn ) de P relativas al origen O de coordenadas. Un
campo vectorial se define usualmente como un objeto cuyo comportamiento
bajo transformaciones generales de coordenadas se identifica con el correspondiente comportamiento del vector x. A continuaci´n revisemos en alg´no
u
detalle dicha definici´n.
o
Sean {ei , i = 1, · · · , n} y {ei , i = 1, · · · , n} dos conjuntos de vectores
base para el espacio vectorial n-dimensional expandido por las mismas y que
denotaremos por Tx (Rn ). Entonces
x = xi ei = xi ei ,

(1.1)

donde {xi , i = 1, · · · , n} y {xi , i = 1, · · · , n} son las componentes (la
representaci´n) de x en las bases {ei } y {ei }respectivamente y donde
o
xi = aij xj ,

aij =

∂xi
.
∂xj

(1.2)

Si para la transformaci´n considerada se tiene que los coeficientes aij son
o
constantes ∀ i , j, entonces la transformaci´n es lineal. En este sentido, deo
ber´ insistirse en que (1.2) se refiere a transformaciones generales de coordea
nadas. As´ diremos que los elementos del conjunto {Ai } son las componentes
ı,
1

CAP´ITULO

1

Tensores

de un campo vectorial A si bajo transformaciones generales de coordenadas
se cumple
Ai = aij Aj ,
(1.3)
donde los coeficientes aij vienen dados por (1.2) y se sobrentiende que Ai =
Ai (xj ) y Ai = Ai (xj ). Se sigue que un campo vectorial A sobre Rn es la
asignaci´n de un vector A(x) a cada punto x de Rn y A = Ai ei ∈ Tx (Rn ).
o
Consideremos a continuaci´n laacci´n del operador ∂i ≡ ∂/∂xi sobre un
o
o
campo escalar ϕ definido sobre Rn . Recordemos que ϕ es un campo escalar
si es invariante bajo el grupo de transformaciones considerado, esto es, si se
cumple ϕ (x ) = ϕ(x). Se tiene
∂i ϕ ≡

∂ϕ
∂xj ∂ϕ
∂xj ∂ϕ
=
= aji ∂j ϕ.
=
∂xi
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj

(1.4)

donde hemos definido

∂xj
.
(1.5)
∂xi
N´tese que el conjunto {∂i ϕ} no transformacomo la componentes de un
o
campo vectorial.
Ahora
∂xi
∂xi ∂xj
=
= δ ik .
(1.6)
aij ajk =
∂xj ∂xk
∂xk
aji ≡

Por otro lado, de A = Ai ei = Ai ei se sigue que
Ai ei = Ai ei = aij Aj ei ,
de donde se desprende que
ej = aij ei
y usando (1.6) encontramos
ei = aji ej ,

(1.7)

que provee la ley de transformaci´n de los vectores base.
o
1.1.2

Covectores, bases duales. EspacioDual.

Sea {ei , i = 1, · · · , n} alguna base particular en Tx (Rn ). Ahora, definimos
el conjunto {˜ i , i = 1, 2, · · · , n} tal que:
ω
1. los objetos ω i proveen la aplicaci´n definida sobre los vectores base
˜
o
{ei } dada por
i
(˜ i , ej ) ≡ δj
ω
(1.8)
2

´
TEOR´ CLASICA DE CAMPOS
IA

Nelson Pantoja V.

2. y que dicha aplicaci´n es lineal, esto es
o
ω
ω
(˜ i , αej1 +βej2 ) ≡ α (˜ i , ej1 ) + β (˜ i , ej2 )
ω

(1.9)

con α y β constantes reales.
Consid´rese a continuaci´n el objeto
e
o
˜
B = Bi ω i ,
˜

(1.10)

donde asumiremos que el conjunto {Bi } transforma, bajo el conjunto de
transformaciones generales de coordenadas considerado, como lo hace el conjunto {∂i ϕ}, esto es,
Bi = aji Bj ,
(1.11)
con aji dado por (1.5). Diremos que {Bi }son las componentes del covector
∗
˜
B en la cobase {˜ i }. Al espacio de los covectores lo denotaremos por Tx (Rn )
ω
∗
y a la cobase en Tx (Rn ) especificada por el conjunto {˜ i } que satisface (1.8)
ω
le denominaremos base dual a {ei }.
Es claro, el objeto
ϕ ≡ ∂i ϕ ω i ,
˜
(1.12)
∗
es un covector, esto es ϕ ∈ Tx (Rn ) y definimos ϕ, (1.12), como la derivada covariante de ϕ.
˜...