Tareas

4.1 Definición de espacio vectorial y sus propiedades.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir aun conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las duplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresiónde imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Propiedades del espacio vectorial.
Hay unaserie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da elvector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero:
Propiedad | Significado |
Unicidad del vector nulo | |
Unicidad del opuesto de un vector | |
Producto por el escalar cero | 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad. |
Producto de un escalar por el vector nulo | a 0 = 0 |
Opuesto del producto de un vector por un escalar | - (a v) = (-a) v = a (-v)|

4.2 Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades.
Subespacio vectorial
Definición
Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.
Criterio de subespacio
El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, es queambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Propiedades
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:
1) El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej: (0,0,0).
2) Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjunto entonces K.vtambién pertenece al conjunto.
3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.
Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

4.3 Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal.

Propiedades de los vectores
TEOREMA 1


Consideremos el vector yentonces

1.-
2.-
3.-4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-

EJEMPLO

Combinación lineal

Un vector x se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

Si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de A multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalarde forma que:

Así, x es combinación lineal de vectores de A si podemos expresar como una suma de múltiplos deuna cantidad finita de elementos de A.

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto A necesito para que, cuando se...