Tareas

1 CONCEPTOS BASICOS
Una ecuaci¶on en diferencias es una expresi¶on del
tipo:
G(n; f(n); f(n + 1); : : : ; f(n + k)) = 0; 8n 2 Z;
donde f es una funci¶on de¯nida en Z:
Si despu¶es de simpli¯car esta expresi¶on quedan los t¶ermi-
nos f(n + k1) y f(n + k2) como el mayor y el menor,
respectivamente, se dice que la ecuaci¶on es de orden
k = k1 ¡ k2:
Ejemplo 1 .- La ecuaci¶on:
5f(n + 4) ¡4f(n + 2) + f(n + 1) + (n ¡ 2)
3
= 0
es de orden 4 ¡ 1 = 3:
181Una ecuaci¶on en diferencias de orden k se dice lineal si
puede expresarse de la forma:
p0(n)f(n+k)+p1(n)f(n+k¡1)+: : :+pk(n)f(n) = g(n);
donde los coe¯cientes pi son funciones de¯nidas en Z:
El caso m¶as sencillo es cuando los coe¯cientes son cons-
tantes pi(n) = ai
:
a0f(n + k) + a1f(n + k ¡ 1) + : : : + akf(n) = g(n):
Laecuaci¶on en diferencias se dice homog¶enea en el
caso de que g(n) = 0; y completa en el caso contrario.
Teorema 1 .- Dada la ecuaci¶on en diferencias lineal
de coe¯cientes constantes y de orden k :
a0f(n + k) + a1f(n + k ¡ 1) + : : : + akf(n) = g(n);
el problema de hallar una funci¶on f de¯nida en Z;
que veri¯que la ecuaci¶on, y tal que en los k enteros
consecutivos n0; n0+1; : : : ;n0+k¡1 tome los valores
dados c0; c1; : : : ; ck¡1; tiene soluci¶on ¶unica.
Teorema 2 .- Dada una ecuaci¶on en diferencias li-
neal homog¶enea de coe¯cientes constantes y de orden
k entonces, si una soluci¶on f en nula en k enteros
consecutivos, es id¶enticamente nula.
182Teorema 3 .- Toda combinaci¶on lineal de soluciones
de una ecuaci¶on en diferencias lineal homog¶enea de
coe¯cientesconstantes y de orden k es tambi¶en solu-
ci¶on de dicha ecuaci¶on.
Se llama sistema fundamental de soluciones de
una ecuaci¶on en diferencias lineal homog¶enea de orden k
a todo conjunto ff1; f2; : : : ; fkg de soluciones de dicha
ecuaci¶on que veri¯ca para alg¶un n0 2 Z que la matriz
fundamental es inversible, esto es:
D(n0) =
f1(n0) f2(n0) : : : fk(n0)
f1(n0 + 1) f2(n0 + 1) : : : fk(n0 + 1): : : : : : : : : : : :
f1(n0 + k ¡ 1) f2(n0 + k ¡ 1) : : : fk(n0 + k ¡ 1)
= 0 6 :
Teorema 4 .- Sea ff1; f2; : : : ; fkg un sistema fun-
damental de soluciones de una ecuaci¶on en diferen-
cias lineal. Entonces:
1. D(n) = 0 6 ; 8n 2 Z:
2. Toda soluci¶on de la ecuaci¶on homog¶enea es com-
binaci¶on lineal de f1; f2; : : : ; fk; es decir:
f(n) =
Xk
i=1
ci fi(n):
1833. Si z(n) es unasoluci¶on de la ecuaci¶on completa,
entonces toda soluci¶on de dicha ecuaci¶on se pue-
de escribir como la suma de z(n) y de la soluci¶on
general de la ecuaci¶on homog¶enea, esto es:
f(n) = z(n) +
Xk
i=1
ci fi(n):
Observaci¶on 1 .- Frecuentemente se suele denotar
yn+j = f(n + j);
con lo cual la ecuaci¶on en diferencias se escribe:
a0 yn+k + a1 yn+k¡1 + : : : + ak yn = gn; 8n 2 Z:Ejemplo 2 .- Hallar la ecuaci¶on en diferencias que
satisface la familia de funciones:
f(n) = c1 2
n
+ c2:
f(n) = c12
n
+c2
f(n + 1) = 2c12
n
+c2
f(n + 2) = 4c12
n
+c2
9
=
;
)
8
<>
:>
c12
n
= f(n + 1) ¡ f(n)
c2 = 2f(n + 1) ¡ f(n + 2)
) f(n) = f(n + 1) ¡ f(n) + 2f(n + 1) ¡ f(n + 2)
) f(n + 2) ¡ 3f(n + 1) + 2f(n) = 0:
184Ejemplo 3 .- Hallar la soluci¶on de laecuaci¶on en
diferencias no lineal:
yn yn¡1 + yn ¡ yn¡1 = 0; 8n 2 Z;
que veri¯ca y0 = c:
Despejando yn se tiene:
yn =
yn¡1
yn¡1 + 1
; 8n 2 Z:
Por tanto, sustituyendo:
yn =
yn¡1
yn¡1 + 1
=
yn¡2
2yn¡2 + 1
= : : : =
y0
ny0 + 1
:
Es decir:
yn =
c
cn + 1
:
2 SOLUCION DE LA ECUACION HOMO-
GENEA
Sea la ecuaci¶on en diferencias lineal homog¶enea de coe-
¯cientes constantes y de ordenk :
a0f(n+k)+a1f(n+k¡1)+: : :+akf(n) = 0; 8n 2 Z:
Buscaremos soluciones del tipo f(n) = r
n
: Entonces:
r
n
(a0r
k
+ a1r
k¡1
+ : : : + ak) = 0
) a0r
k
+ a1r
k¡1
+ : : : + ak = 0:
185Por tanto, r es ra¶³z de la ecuaci¶on caracter¶³stica
a0r
k
+ a1r
k¡1
+ : : : + ak = 0:
El estudio de la soluci¶on depender¶a de si las ra¶³ces de la
ecuaci¶on caracter¶³stica son simples o...