Taylor

Funciones
mediante la serie
de Taylor

Definicion
• En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación
de funciones mediante una serie de potencias o suma de
potencias enteras de polinomioscomo ( x-a )^n llamados
términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las
derivadas de la función para un determinado valor o punto
a suficientemente derivable sobre la función y un entornosobre el cual converja la serie.
Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a=0, se le
denomina serie de McLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
• la derivación e integraciónde una de estas series se
puede realizar término a término, que resultan
operaciones triviales;
• se puede utilizar para calcular valores aproximados de
funciones;
• es posible calcular la optimidadde la aproximación.

• Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque
tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede
conseguir un desarrollo en serie utilizandopotencias negativas de x.
Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de
Laurent.

• La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos
que es infinitamentediferenciable en un entorno de números reales o
complejos a, es la serie de potencias:

• Que puede ser escrito de una manera más compacta
como:

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésimaderivada de f en el punto a; la derivada cero de f es
definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos
definidos como uno.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al
intervalo (a-r, a+r) yla suma es igual a f(x), entonces la
función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie
converge a f(x), suele usar una estimación del resto del
Teorema de Taylor.

• Una función es analíticasi y solo si se puede representar
con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie
son necesariamente los determinados en la formula de la
serie de Taylor.

La gráfica de la función...