Tc1

Plan
modos de conducción de calor
conducción - ecuación del calor
convección
radiación
estado estacionario, 1D
resistencia térmica
sistemas con generación de calor
aletas, disipadores
transitorios, 1D
radiación
cuerpo gris
factor de forma

Transferencia de Calor – p. 1/2

conducción 1D– Ley de Fourier
flujo unidimensional
dT
˙
Q = −kA
dx
Q˙ = potencia transferida [watt]
k = conductividadtérmica [w/mo C]
A =área transversal al flujo de calor [m2 ]
signo:
el calor fluye hacia temperaturas mas bajas, dT /dx < 0

posibles complicaciones:
A = A(x)
k = k(x)

Transferencia de Calor – p. 2/2

conductividad térmica

Transferencia de Calor – p. 3/2

ecuación del calor (1D)
para flujo de calor unidimensional en un sólido, T = T (x, t).
Balance térmico:

δx

T0

Q˙ x

Q˙ x+δx

A

PSfragreplacements

δ U˙ = Q˙ x − Q˙ x+δx + q˙gen Aδx

x

c = calor específico, ρ = densidad, A = área transversal = ctes.
δ U˙ = cambio en energía interna en elemento δx, δ U˙ = ρcAδxT˙
q˙gen = potencia generada por unidad de volumen

∂T
∂T
= −(kA)x
ρcAδx
∂t
∂x

+ (kA)x+δx
x

∂T
1 ∂
ρc
=
∂t
A ∂x

∂T
Ak
∂x

∂T
∂x

+ q˙gen Aδx
x+δx

+ q˙gen

Transferencia de Calor – p. 4/2

ecuación del calor
si el área A esconstante, se cancela. Si además la
conductividad térmica es constante
∂ 2T
∂T
= k 2 + q˙gen
ρc
∂t
∂x

y para para el caso 3D, T = T (x, y, x; t), se generaliza a
∂T
∂T
k=cte
ρc
= ∇ · (k∇T ) + q˙gen −→ ρc
= k∇2 T + q˙gen
∂t
∂t
el laplaciano es
∇

2

∇

2

=

∇2

=

=

∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2

cartesianas

1 ∂2
∂2
1 ∂
∂2
+ 2
+
+
cilíndricas
∂ρ2
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ2
∂z 2
„
«
∂
∂2
1 ∂2
1
∂
1
r+ 2
sin θ
+ 22
r ∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin2 θ ∂ϕ2

esféricas

Transferencia de Calor – p. 5/2

régimen permanente
en régimen permanente,
∂T
=0
∂t

la ecuación del calor (k = cte) se reduce a
q˙gen
∂ 2T
=−
2
∂x
k

o bien, en 3D,
q˙gen
∇ T =−
k
la misma ecuación que verifica un potencial electrostático
(ec. del Poisson o ec de Laplace)
→ símil eléctrico para problemas estacionarios
2

Transferencia de Calor – p.6/2

convección
ecuación de convección
Q˙ = −hAc (T − T∞ )

h = coeficiente de convección [w/m2 ,o C]
Ac = área de contacto, [m2 ]
T = temperatura de la superficie, [o C]
T∞ = temperatura del fluido
lejos de la superficie, [o C]

complicación:
determinación del h apropiado...

Transferencia de Calor – p. 7/2

coeficientes de convección típicos

Transferencia de Calor – p. 8/2

radiación
ley deStefan-Boltzmann para un radiador ideal
(un cuerpo negro)
Q˙ e = −σAT 4

σ = 5, 67 × 10−8 w/m2 K 4

intercambio radiante con otro cuerpo negro:
Q˙ neto = Q˙ e + Q˙ a = σA(T24 − T14 )
coeficiente de radiación
Q˙ neto = hr A(T2 − T1 )
se define
hr ≡ σ(T2 + T1 )(T22 + T12 )
utilidad limitada: depende fuertemente de las temperaturas

Transferencia de Calor – p. 9/2

Conducción - caso estacionario1D
si T = T (x), k = cte, la ecuación del calor se reduce a
d2 T
k 2 = −q˙gen
dx

Sin fuentes, q˙gen = 0, el gradiente
de temperatura es lineal y el calor se
conduce a una tasa constante

∆x
T2

T1

PSfrag
replacements Q˙
dT
q ≡ Q˙ = −kA
= cte
dx
T1 − T2
q = kA
∆x

A

x

Transferencia de Calor – p. 10/2

resistencia térmica
símil eléctrico
potencia térmica

q

diferencia de temperaturaresistencia térmica
ley de Fourier

∆T

corriente eléctrica

I

diferencia de potencial

∆V

RT = ∆x/kA

R = ρe L/A

q = ∆T /RT

I = ∆V /R

resistencia eléctrica
ley de Ohm

q

PSfrag replacements

T2

T1
RT

T1 − T2
q=
RT

∆x
RT =
kA

Transferencia de Calor – p. 11/2

símil eléctrico
suma en serie
T1

TAB TBC

T2

PSfrag replacements

q
A

B

C

Transferencia de Calor – p. 12/2

símil eléctrico

Sfragreplacements
suma en serie

q

TAB

T1
RA
T1 − T2
q=
RT
TAB = T1 − qRA ,

TBC
RB

T2
RC

RT = R A + R B + R C
TAB = T1 − q(RA + RB )

etc.

Transferencia de Calor – p. 12/2

símil eléctrico
suma en paralelo
T1

TAB TBC

T2

B’

PSfrag replacements

q
A

B

C

si las resistencias térmicas son similares
RB ≈ R B

es decir

dB
dB
≈
kB A B
kB A B

el flujo de calor permanece aproximadamente...