tecnico superior

2.2 Antecedentes al método Simplex.

2.2.1 Matriz inversa.
Dada una matriz A tal que al multiplicarla por una matriz B tal que:
AB = BA = I
Se dice que B es la Inversa de A.
B = A-1
A A-1 = A-1 A = I
Si se tiene la matriz “A” y se le agrega la matriz identidad a la derecha de ésta, se
realizan las transformaciones elementales de matrices, de tal forma que del lado
izquierdo se tengala matriz identidad, por consiguiente se obtendrá del lado
derecho la matriz inversa.

El arreglo matricial será:
( A  I )  ( A-1 A  A-1 I )  ( I A-1 )
Nota: Las Transformaciones elementales de las matrices son:
1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.
2. Intercambiar renglones
3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro.

Ejemplo:
Obtener la inversa de lasiguiente matriz
2 4
1 1

A esta matriz se le agrega la matriz identidad y se efectúan las
transformaciones elementales

Tenemos:
2 4 1 0 R1 (½)
1 2 ½ 0
1 2 ½ 0


1 1 0 1
1 1 0 1 R2 – R1
0 -1 -½ 1

R2 (-1)

1 2 ½ 0 R1 – 2R2
1 0 –½ 2

0 1 ½ –1
0 1 ½ –1
La matriz inversa de matriz
2 4
1 1

–½

Es la matriz

½

2
–1

Para comprobar si es la matriz inversa semultiplican ambas y debe dar la
identidad
2 4
1 1

–½

2

½



–1

1 0
0 1



Ejercicios
1.-Obtenga la matriz inversa de la siguiente matriz.
3 1
5 2

2

–1

–5

solución

3

1 0
0 1



2.-Obtenga la matriz inversa de la siguiente matriz.
1 2 3
2 4 5
3 5 6

1
solución

–3

–3

3
–1

2

2
-1
0



1 0 0
0 1 0
0 0 1

2.2.2 Solución deecuaciones lineales por Gauss- Jordan donde “n” es igual
a “m” (igual número de variables que ecuaciones)
Si se tiene un sistema de ecuaciones representado en forma matricial tendríamos:
Ax =b
Si de este arreglo matricial se despeja “x” será:
A-1 A x = A-1 b
I x = A-1 b
x = A-1 b

Entonces

Si se tiene la matriz “A” y se le agrega la matriz identidad a la derecha de ésta y el
vectorb. Se realizan las transformaciones elementales de matrices, de tal forma
que del lado izquierdo se tenga la matriz identidad, por consiguiente se obtendrá
del lado derecho la matriz inversa. Y la última columna será la solución al
problema

El arreglo matricial será:
( A  I  b )  ( A-1 A  A-1 I  A-1 b)  ( I A-1  x )
Ejemplo
Solucione el siguiente sistema de ecuaciones lineales porel método de Gauss
Jordan.
2x1 + 4x2 = 4
x 1 + x2 = 6
Tabla 1
Tabla 2
Tabla 3
x1 x2
b
x1 x2
b
x1 x2
b
2 4 1 0 4 R1 (½)  1 2 ½ 0 2
1 2
½
0 2
1 1 0 1 6
1 1 0 1 6 R2 – R1  0 –1 –½ 1 4
Tabla 4
x1 x2
1
2 ½ 0
1 -1 -½ 1

b
2
4 R2(-1)



x1
1
1

Tabla 5
x2
2 ½
0
1 ½ -1

b
2
-4

R1–2R2



x1
1
0

Tabla 6
x2
x
0 -½ 2 10
1
½ -1 - 4

La ventajaes que aparte de tener la solución se obtiene la matriz inversa
–½ 2
½ –1

Es matriz inversa

10 = x1
– 4 = x2

Comprobación:
2(10) + 4(– 4) = 4
(10) + (– 4) = 6
Ejercicios:
1.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por Gauss Jordan.
x1  2x2 = 2
2x1  2x2 = 8
Solución:
x1 x2
1 0 –1
0 1 –1

1
½

x
6 = x1
2 = x2

2.-Resolver el siguiente sistema de ecuaciones porGauss Jordan.

x1 + x2 + x3 = 4
x1 + 2x2 + 2x3 = 2
 x1  x2 + x3 = 2
Solución:
x1
1
0
0

x2
0
1
0

x3
0
2 –1
0
0 – 32 1 –½
1
½
0
½

x
6
–5
3

2.2.3 Solución de ecuaciones lineales por Gauss- Jordan donde “n” es
mayor que “m” (mayor número de variables que ecuaciones)
Este tipo de ecuaciones tendrá un número infinito de soluciones.
Para encontrar las soluciones aeste sistema es necesario fijar ( n – m) variables
igual a cero y resolver el sistema para las restantes.
Al resolver este sistema nos proporcionará una solución básica.
El número de soluciones básicas será igual a:

n!
n
Número de soluciones básicas =   
 m  m ! n - m !
Ejemplo:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.
x1 + x2 + x3 = 4
2x1 + x2 + 3x3 = 6
Este sistema...