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FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN


Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].


Así:


La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.


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PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS.DE UNA FUNCION


Primera propiedad. Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x).


Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) +C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)


Segunda propiedad. Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.


Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar
a C.


Tercera propiedad. Dos primitivas de una mismafunción se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.


Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.


Pues bien, si F(x) es una primitiva def(x), F'(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).


Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.


INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCION


Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza
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Estaexpresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
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donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
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[pic]Resolución:
• Puesto que una primitiva de cos x es sen x,


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Resolución:
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Por consiguiente,


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Resolución:
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INTEGRALES INMEDIATAS


De la derivación de funcioneselementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.


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y viceversa [pic]. Integración y derivación son operaciones inversas.
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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )



Integración por descomposición



Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:


• Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia)de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
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• Segunda propiedad de las integrales
La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.
Es decir,
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Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por...