Tema 0

TEMA 0: ECUACIONES DIFERENCIALES
EN DERIVADAS PARCIALES (EDP)
EN INGENIER´IA.
M´
etodos Matem´
aticos en Ingenier´ıa
de Materiales, Qu´ımica y de la Energ´ıa.
Curso 2010-2011. Prof.: Ana I. Mu˜
noz Montalvo y Emanuele Schiavi.

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´Indice
1. Presentaci´on y generalidades.
2. Notaci´on y Conceptos fundamentales. Ejemplos.
3. Ecuaciones cuasilineales de primer orden.
4. Problema de Cauchy paraecuaciones diferenciales.
5. Ecuaciones lineales de segundo orden.
6. Condiciones iniciales y de contorno.
7. Ecuaciones el´ıpticas y parab´olicas.
8. Tablas de operadores diferenciales.

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1. Presentaci´
on y generalidades.
El an´alisis de diversos fen´
omenos estudiados en F´ısica y Qu´ımica
conducen a la consideraci´
on de ecuaciones de conservaci´
on de masa o
de carga el´ectrica (ec. decontinuidad), de la cantidad de movimiento
(ec. de equilibrio), de conservaci´
on de la energ´ıa, etc. Tales
ecuaciones suelen ser de un tipo dererminado, llamado ecuaciones en
derivadas parciales (EDP).
Existen determinadas t´ecnicas matem´
aticas que permiten abordar
tales problemas desde los puntos de vista anal´ıtico (exacto) y
num´erico (aproximado). En este curso estudiaremos algunas t´ecnicas
dean´alisis num´erico para resolver problemas formulados en t´erminos
de EDPs y de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs).

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2. Notaci´
on y conceptos fundamentales. Ejemplos.
Denotaremos las derivadas parciales de una funci´on de varias
variables, digamos u(x, t), en las formas
∂u
∂2u
∂2u
∂u
ux =
,
uxx =
,
u
=
,
u
=
xt
t
∂x
∂x2
∂x∂t
∂t
Definici´
on. Se llama ecuaci´
on diferencial enderivadas parciales a
una ecuaci´
on de la forma:
F

∂u
∂u
∂mu
, ...,
, ..., k1 k2
x1 , x2 , ..., xn , u,
∂x1
∂xn
∂x1 ∂x2 ...∂xknn

=0

(1)

que relaciona las variables independientes x1 , x2 , ..xn (n > 1), la
variable dependiente u = u(x1 , x2 , ..., xn ) y sus derivadas parciales
hasta el orden m, siendo m un n´
umero entero tal que m ≥ 1. Los
umeros enteros no negativos tales que
super´ındices k1 ,k2 , .., kn son n´
k1 + k2 + ... + kn = m.
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T´ıpicos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
pueden ser
1)

uxx +uyy = 0, 2)

ut = α2 uxx ,

3) utt = −β 2 uxxxx , 4)

ut = iβuxx ,

(siendo α, β constantes reales e i la unidad imaginaria). Tambi´en
5)

uxx +uyy +α2 u = 0, 6)

ut +αuux +βuxxx = 0, 7) uxx +xuyy = 0

En todos los casos se trata de ecuaciones en derivadasparciales
famosas que suelen llevar el nombre de su descubridor. En concreto
se trata de la ecuaci´
on de Laplace (1), de la ecuaci´
on de Fourier (2),
de la ecuaci´
on de Euler-Bernoulli (3), de la ecuaci´
on de Schrodinger
(4), de la ecuaci´
on de Helmholtz (5), de la ecuaci´
on de Korteweg-de
Vries (6) y de la ecuaci´
on de Tricomi (7). Aparecen en numerosos
problemas de la f´ısica matem´
atica.

5Definici´
on. Se llama orden de una ecuaci´
on diferencial del tipo (1)
al mayor de los o
´rdenes de las derivadas parciales que aparecen en la
ecuaci´
on.
Las 7 ecuaciones propuestas en el ejemplo son (respect.) de orden 2,
2, 4, 2 y 2, 3, 2, respectivamente.
Cuando se consideran varias EDP simult´
aneamente se generan
sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Excepto unos pocos
casosconcretos es extremadamente dif´ıcil el estudio de tales sistemas,
especialmente si se consideran ecuaciones de distinta naturaleza.
Veamos por ejemplo el sistema que modeliza la propagaci´on de una
peque˜
na perturbaci´
on en un gas (una onda sonora). Se trata de un
modelo matem´
atico para la propagaci´on del sonido.

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El movimiento unidimensional de un gas, cuya viscosidad es
inapreciable, sedescribe mediante

∂u
∂ρ ∂ρ


ρ
+
u
+
= 0

∂x
∂x
∂t


 ρ ∂u + ρu ∂u + ∂p = ρF
∂t
∂x ∂x

donde u(x, t) es la velocidad en el punto x y en el tiempo t, ρ(x, t) es
la densidad de masa, p(x, t) es la presi´on y F (x, t) es una fuerza dada
por unidad de masa. La primera de estas ecuaciones expresa la
conservaci´
on de la masa; la otra es la segunda ley de Newton del
movimiento.

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Introducida la...