Tema 3 ESTIMACION PUNTUAL

TEMA 3 ESTIMACIÓN PUNTUAL

ESQUEMA
3.1.- Planteamiento del problema: La Estimación Puntual.
3.2.- Propiedades de los estimadores.
3.2.1.- Insesgadez.
3.2.2.- Eficiencia. La cota de Cramér-Rao. EIMV.
3.2.3.- Consistencia.
3.2.4.- Sufuciencia. Criterio de Factorización.
3.3.- Métodos de obtención de estimadores.
3.3.1.- El método de los momentos. Propiedades.
3.3.2.- El método de la máximaverosimilitud. Propiedades.
3.1.- Planteamiento del problema: La Estimación Puntual.
Recordemos que a la hora de estudiar un fenómeno aleatorio básicamente
podemos encontrarnos con dos problemas:
Puede resultar que desconozcamos el modelo de probabilidad al que se ajusta la
v.a. que estemos estudiando. (inferencia no paramétrica)
O bien conozcamos el modelo de probabilidad, pero desconozcamos elparámetro
(o parámetros) que lo definen. (inferencia paramétrica)
Este segundo problema va ha ser el objeto de nuestro estudio en los próximos
temas. Este primer tema dedicado a la inferencia estadística lo dedicaremos a la Estimación
Puntual.
Básicamente estudiaremos la forma en que debemos hacer uso de la información
muestral para determinar el valor de los parámetros que determinan un modelo deprobabilidad.
Por ejemplo, en un proceso industrial de llenado de paquetes de detergentes,
sabemos que esta variable se ajusta a una distribución Normal, y debido a la larga
experiencia podemos afirmar que en términos medios cada paquete es llenado con 5 Kgr. de
detergente, pero desconocemos la regularidad del proceso (la desviación típica). Con el fin
de determinar este valor desconocido debemosseleccionar una muestra y en función de los
valores obtenidos asignar un valor a este parámetro.
términos:

Desde un punto de vista teórico el problema lo vamos a plantear en los siguientes

Sea ξ una v.a. que tiene asociada una función de distribución F que depende de
un parámetro θ. Supongamos que conocemos la forma funcional de F a falta de este
parámetro. A partir de ahora nombraremos la función dedistribución como F(x;θ) ó Fθ para
hacer referencia a que desconocemos el valor de este parámetro.
Definición.- El conjunto de todos los valores admisibles de los parámetros de
una función de distribución se llama espacio paramétrico. Este conjunto lo simbolizaremos
por Θ.
Para cada posible valor que tome θ tendremos una función de distribución
distinta. El conjunto {Fθ ; θεΘ} se llama familia dedistribuciones de ξ
GARCÍA CÓRDOBA

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Ejemplo:
Si ξ≈B(3;p) tendremos que el espacio paramétrico es el intervalo Θ = [0,1]. Y la
familia de distribuciones será {B(3;p) ; 0≤p≤1}
Definición.- Sea (ξ1, ξ2 , . . . ,ξn) una m.a.s. de F(x;θ). Un estadístico
θ* = f (ξ1, ξ2 , . . . ,ξn)
se dice que es un estimador puntual de θ si θ* aplica Rn en Θ.
Obsérvese que el estimador no esun valor concreto sino una variable aleatoria,
ya que aunque depende unívocamente de los valores de la muestra observados (ξi = xi), la
elección de la muestra es un proceso aleatorio.
Una vez que la muestra ha sido elegida, se denomina estimación el valor
numérico que toma el estimador sobre esa muestra.
Un estimador es siempre una función de los valores muéstrales cuyo resultado
debe ser siempreun posible valor del parámetro.
Por ejemplo, con el fin de estimar la proporción de éxitos p (desconocido) en un
experimento que se repite 3 veces (modelo B(3;p)) tomamos una muestra de tamaño 4,
pongamos (2,5,1,2), es decir, en estas cuatro realizaciones hemos obtenido cuatro valores
diferentes para p, que son 0,2; 0,5; 0,1 y 0,2. ¿Qué valor asignamos a p?
Podemos pensar, y en principio es lo máscoherente, tomar la media: p*=0,25.
Pero otra alternativa podría ser la media geométrica p*=0,21 o quizás el mínimo valor
muestral p*=0,1. Todas estas funciones (estadísticos) nos dan siempre valores aceptables
para p. En cambio si tomamos la suma de todos los valores muéstrales p*=1 (que también
es un estadístico=función de la muestra) este no será un estimador pues no siempre da
valores...