Tema 4 Mates

TEMA

4
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En numerosas aplicaciones matemáticas o físicas aparecen funciones que dependen de
dos o más variables. Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular recto es V = pr2 h,
que es una función de las variables r (radio) y h (altura). Otro ejemplo: supongamos que
estamos estudiando la temperatura T en una placa metálica en distintos instantes de tiempot; si representamos los puntos de esta placa como pares ordenados ( x, y), expresaremos la
temperatura en el punto ( x, y) en el instante t como una función de tres variables T ( x, y, t).
Será preciso entonces extender el análisis conocido para funciones de una sola variable a
funciones de varias variables. Esta generalización no será en modo alguno trivial, y deberemos
enfrentarnos a nuevosy estimulantes retos intelectuales.
Comencemos dando un poco de notación. Definimos el plano cartesiano R2 como el conjunto de pares ordenados ( x, y), donde cada elemento es un número real:
R2 = {( x, y) : x 2 R, y 2 R }.

De igual forma se define el espacio cartesiano:

R3 = {( x, y, z) : x 2 R, y 2 R, z 2 R }.

De modo general, se puede considerar el espacio n-dimensional R n , n > 2.Aunque nos
centraremos principalmente en el plano R2 , todas las definiciones y resultados se generalizan
de forma obvia a cualquier espacio R n .
Sea D un subconjunto de R2 . Una función de dos variables f : D ! R es una regla que
asigna a cada par ordenado ( x, y) 2 D un único número real f ( x, y) 2 R. El conjunto D
es el dominio de f . Al igual que pasaba en funciones de una variable, sino se especifica el
dominio se tomará el más grande posible. A menudo, también será conveniente representar
geométricamente el dominio. Por último, definimos el rango o imagen de f como el conjunto:
R( f ) = {z 2 R : z = f ( x, y), ( x, y) 2 D }.

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TEMA 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
p

x 2 + y2 9
. El numerador
x
está definido sólo en el conjunto de puntos ( x, y) 2 R2 talesque x2 + y2 > 9. Además, como
el denominador no puede anularse, hemos de quitar también los puntos donde x = 0, esto es,
la recta (0, y) (eje de ordenadas):
Ejemplo 4.1. Determinemos el dominio de la función f ( x, y) =

D = {( x, y) 2 R2 : x2 + y2 > 9, x 6= 0}.
Geométricamente, D es el exterior de la circunferencia (incluyendo la propia circunferencia)
x2 + y2 = 9 menos los puntos del eje y.Figura 4.1: Representación gráfica del domino de la función f ( x, y) =

Ejemplo 4.2. Calculemos el dominio de la función f ( x, y) = p

p

x 2 + y2 9
.
x

1

. El numerador no
9 x 2 y2
da problemas, así que concentrémonos en el denominador: este está definido en los puntos
que verifican la inecuación 9 x2 y2 > 0; notemos que ahora la desigualdad es estricta, ya
que debemosevitar los puntos que anulan al denominador, que son precisamente los de la
circunferencia x2 + y2 = 9. Por tanto:
D = {( x, y) 2 R2 : x2 + y2 < 9}.
Por tanto, D representa al interior de la circunferencia, pero esta vez excluyendo a la propia
circunferencia.
Sean f ( x, y) y g( x, y) funciones de dos variables con el mismo dominio (si los dominios
no son iguales, consideramos su intersección).Podemos definir las siguientes operaciones:
Suma: ( f + g)( x, y) = f ( x, y) + g( x, y).
Diferencia: ( f

g)( x, y) = f ( x, y)

g( x, y).

Producto: ( f g)( x, y) = f ( x, y) g( x, y).
f

Cociente: g ( x, y) =

f ( x,y)
,
g( x,y)

si g( x, y) 6= 0.

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Si h es una función de una sola variable, podemos definir la composición h g como
(h g)( x, y) = h[ g( x, y)]. Porsupuesto, es necesario que el punto g( x, y) pertenezca al dominio
de h, o lo que es lo mismo, que el rango de g esté contenido en el dominio de h.
p
Ejemplo 4.3. La función f ( x, y) =
16 4x2 py2 puede escribirse como la composición
2
2
f = h g, donde g( x, y) = 16 4x
y y h(t) = t.
A menudo representaremos la función f : D ! R en la forma z = f ( x, y), donde x e y
son las variables...