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Se presentan inicialmente unas ideas relacionadas con los modelos matemáticos en general, para luego enfocarse en uno muy concreto: el que utiliza como insumo básico las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Dado que el modelo de oferta y demanda, utiliza para su explicación matemática y económica, las ecuaciones diferenciales lineales, se lleva a cabo una explicación de cómoobtener una solución analítica y gráfica de dichas ecuaciones. Posteriormente, se explica con detalle los elementos básicos para definir con lenguaje de ecuaciones diferenciales los conceptos de oferta, demanda y el principio económico que los une, a través del planteamiento y solución de varios ejemplos de aplicación.
Por tanto la modelación matemática es el proceso de formular comportamientos delmundo real en términos matemáticos. En el proceso de modelación matemática, lo que se hace normalmente es construir una descripción de un fenómeno de la vida real en términos matemáticos. La pregunta que inmediatamente surge es: ¿ Para qué ? La respuesta es múltiple: la información obtenida por el modelo matemático permitiría: - Comprender cómo funciona el sistema - Qué ocasiona cambios en elsistema - Qué tan sensible (estable) es el sistema a ciertos cambios - Qué cambios se producirán en el sistema - Cuándo ocurrirán los cambios. Dado que las matemáticas utilizan teoremas y técnicas para hacer deducciones lógicas y trabajar con ecuaciones, en sí mismas proporcionan un contexto donde puede realizarse un análisis libre de conceptos preconcebidos sobre el resultado. Además tiene granimportancia práctica el hecho de que las matemáticas posibilitan un formato o esquema para obtener respuestas numéricas que tienen sentido en el sistema.
Los modelos matemáticos pueden ser de diversa naturaleza: desde estructuras sencillas, hasta otras más complejas y elaboradas. Asimismo, pueden diferenciarse entre deterministicos y probabilísticos, dependiendo si se introduce o no incertidumbre en surespuesta. La primera categoría se utiliza generalmente en la predicción de datos concretos, mientras que, la segunda, es preferentemente usada en el caso de eventos con cierto grado de incertidumbre, como por ejemplo, en la estimación de lluvias y eventos climáticos y volcánicos o el pronóstico de precios de unos bienes de consumo. Estos patrones inciden en la precisión del resultado, queobviamente es menos certero en el último caso. Pero también pueden dividirse en otras clases.
Existen los análogos que utilizan la similitud que se puede establecer entre una variable de interés y otra diferente, a la cual se recurre para obtener una representación aproximada. Y los físicos, donde la correspondencia es equivalente, determinada y recíproca entre una misma variable que se encuentra tantoen el modelo, como en la realidad que representa.
Independientemente del tipo de modelo matemático, hoy por hoy, es un instrumento muy útil para estudiar problemas en disciplinas tan diversas como física, química, biología, hidrología, mecánica, ingeniería e incluso en ciencias sociales y económicas, que permite describir, explicar y predecir fenómenos y procesos que son relevantes para eldesarrollo de investigaciones en éstas áreas.
1. EL MODELO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Es conveniente anotar que desde el punto de vista estrictamente matemático existen muchos modelos, los cuales describen igualmente, una amplia gama de situaciones reales. Uno de ellos es el que utiliza ecuaciones diferenciales, para lo cual será necesario definir algunos elementos indispensables entorno a esa herramienta matemática. 1.1 ECUACION DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra las derivadas de una función de una o varias variables. Dicha función se la llama función desconocida o función incógnita o variable dependiente. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y linealidad. 1.1.1 Clasificación según el tipo. Si la función...