Tema3

32

Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 Conceptos generales
3.2 Operaciones matriciales
3.3 Tipos de matrices
3.4 Determinantes
3.5 Matriz inversa
3.6 Rango y traza
3.7 Matrices particionadas
3.8 Sistemas de ecuaciones lineales

¶ticas
Matema

3

Matrices y determinantes

33

MATRICES Y DETERMINANTES

3.1
3.1.1

CONCEPTOS GENERALES
¶
DEFINICION

Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpoIK es una
aplicaci¶on:
A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng
(i; j)

¡! IK

7¡! aij :

La matriz A suele representarse por
0

A = (aij )

1·i·m
1·j·n

B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n
B
B
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n
=B
B
B ..................
B
@
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn

y se dice que es de orden m £ n .

1
C
C
C
C
C
C
C
C
A

² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos
ai1; ai2 ; : : : ; ain.
² La columnaj-¶esima de la matriz A es la formada por los
elementos a1j ; a2j ; : : : ; amj .
² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij .
Se denota por Mm£n (IK) el conjunto de las matrices
de orden m £ n con elementos en IK .
¶
NOTACION:

¶ticas
Matema

Matrices y determinantes

Sean A; B 2 Mm£n(IR); A = (aij )

1·i·m
1·j·n

34

; B = (bij )

1·i·m
1·j·n

.

Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i2 f1; : : : ; mg
8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .
3.2
3.2.1

OPERACIONES MATRICIALES
SUMA DE MATRICES

Sean A; B 2 Mm£n(IK); A = (aij )

1·i·m
1·j·n

; B = (bij )

de¯ne A + B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij )

1·i·m
1·j·n

1·i·m
1·j·n

. Se

tal que

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij :
3.2.2

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. 8A; B; C 2 Mm£n (IK) (A + B) + C = A + (B +C).
2. 9 O = (0ij )

1·i·m
1·j·n

2 Mm£n (IK) (matriz nula), tal que

8A 2 Mm£n(IK) A + O = O + A = A.
3. 8A 2 Mm£m (IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que
A + (¡A) = (¡A) + A = O:
(¡A = (¡aij )

1·i·m
1·j·n

).

¶ticas
Matema

Matrices y determinantes

35

4. 8A; B 2 Mm£n(IK) A + B = B + A.
3.2.3

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij )

1·i·m
1·j·n

¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C =(cij )

, y ¸ 2 IK. Se de¯ne

1·i·m
1·j·n

, tal que

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij :
3.2.4

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES

8A; B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK
1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B.
2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.
3. (¸¹)A = ¸(¹A).
4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).
3.2.5

¶
OBSERVACION:

(Mm£n (IK); +; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on
mn.

¶ticas
Matema3.2.6

Matrices y determinantes

36

PRODUCTO DE MATRICES

Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p (IK) , donde A = (aij )
B = (bij )
(cij )

1·i·n
1·j·p

1·i·m
1·j·p

tal que:
n
X

k=1

aik bkj :

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8C 2 Mp£q (IK)
(AB)C = A(BC):
2. 8A; B; C 2 Mn£n(IK)
A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA:
3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK)
AIn = InA =A;
donde:

,

. Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p (IK); con C =

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij =
3.2.7

1·i·m
1·j·n

0

1

B 1 0 ¢¢¢ 0 C
B
C
B
C
B 0 1 ¢¢¢ 0 C
B
C:
In = B
C
B .......... C
B
C
@
A
0 0 ¢¢¢ 1

¶ticas
Matema

Matrices y determinantes

37

4. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8¸; ¹ 2 IK
(¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):

3.2.8

¶ DE MATRICES
TRASPOSICION

Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij )

1·i·m1·j·n

. Se de¯ne matriz tras-

puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m (IK), como At =
¶
µ
0
tal que
aij
1·j·n
1·i·m

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:
3.2.9

¶ DE MATRICES
PROPIEDADES DE LA TRASPOSICION

Sean A 2 Mm£n (IK) y ¸ 2 IK.
1. (In)t = In.
t

2. (At ) = A.
3. (¸A)t = ¸At.
4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A + B)t = At + B t.
5. Si B 2 Mn£p (IK), entonces (AB)t = B t At.¶ticas
Matema

3.3
3.3.1

Matrices y determinantes

38

TIPOS DE MATRICES
DEFINICIONES

1. Matriz ¯la: posee una u¶nica ¯la.
(a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK):
2. Matriz columna: posee una u¶nica columna.
0

B a11
B
B
B a21
B
B
...
B
B
@
am1

1
C
C
C
C
C
C
C
C
A

2 Mm£1 (IK):

3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶umero de ¯las
que de columnas, m = n .
0

1

B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C
C
B
C
B
B...