Temas De Segundo

1.-RECONOCER LAS PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS
Polígono
Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados
rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos,
hexágonos, etc.
Regular
Un "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos
iguales. Si no, es irregular.

Pentágono regular Pentágono irregular

Ángulo interior
El ángulo interior de unpolígono regular de
"n" lados se calcula con la fórmula:
(n-2) × 180° / n
Por ejemplo el ángulo interior de un octágono
(8 lados) es:
(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 =

2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior
Los ángulos exterior e interior se miden sobre
la misma línea, así que suman 180°.
Por lo tanto el ángulo exterior
simplemente 180° - ángulo interior

es

Elángulo interior de este octágono es 135°,
así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono es 120°, así
que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales
Todos los polígonos (menos los
triángulos)
tienen diagonales
(líneas que van de un vértice a otro,
pero que no son lados).
El número de diagonales es n(n - 3)
/ 2.
Ejemplos:



un cuadrado tiene 4(4-3)/2 =
4×1/2= 2 diagonales
un octágono tiene 8(8-3)/2 =
8×5/2 = 20 diagonales

(Nota: esto vale para polígonos

regulares e irregulares)

Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema
"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "
Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los
nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se
pueden dibujar en unpolígono regular, así:
La circunferencia "exterior" se
llama circunscrita (a veces también
"circuncírculo"), y conecta los
vértices del polígono.
La
circunferencia
"interior" se
llama inscrita (a
veces
también
"incírculo"), y toca cada lado del
polígono en el punto medio.
El radio de la circunferencia
circunscrita es también el radio del
polígono.
El radio de la circunferencia inscrita
es elapotema del polígono.

Fórmulas
Si tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo
cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene
toda la información importante:

(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)
El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno,
coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el
apotema y "n":
sin(π/n) =(Lado/2) / Radio

Lado = 2 × Radio × sin(π/n)

cos(π/n) = Apotema / Radio

Apotema = Radio × cos(π/n)

tan(π/n)
Apotema

=

(Lado/2)

/

Lado =
tan(π/n)

2

×

Apotema

Hay muchas más relaciones como estas (casi
"reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.

todas

×

son

Área
Ahora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los
triángulos!
El área de un triángulo es lamitad de la base por la altura, así que:
Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)
Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:
Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Así
que:

Área del
pequeño

triángulo = ½ × Apotema × (Apotema ×
tan(π/n))
= ½ × Apotema2 × tan(π/n)

Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:
Área del polígono = n × Apotema2 × tan(π/n)
¡La verdad es quees una fórmula muy simple!
Otras fórmulas del área
Si no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el
radio y el lado:
Área del polígono = ½ × n × Radio2 × sin(2 × π/n)
Área del polígono = ¼ × n × Lado2 / tan(π/n)
Tabla de valores
Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados,
apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual
a "1":

NombreTriángulo
(o trígono)
Cuadrilátero
(o tetrágono)

Lado
Figur Ángulo Radi
s
Lado
a
interior o
(n)

3

4

60°

90°

Apotem
Área
a

1

1.732..
.
0.5
(√3)

1

1.414..
0.707...
.
2
(1/√2)
(√2)

1.299...
(¾√3)

Pentágono

Hexágono

5

6

108°

120°

1

1.176..
0.809... 2.378...
.

1

2.598...
0.866...
((3/2)√3
(½√3)
)

1

Heptágono
7
(o septágono)

128.571
1
°

0.868..
0.901... 2.736...
.

Octágono...