Temas Del 1 Al 7 Y Repaso Modelos

Estadística Empresarial II

Repaso: Modelos más utilizados y distribuciones conjuntas de
variables aleatorias
Revisión de las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias unidimensionales:

Recordemos que para definir una variable aleatoria, que inicialmente la representaremos
por , además de establecer el conjunto de valores que puede tomar (que podrán ser de
tipo discreto o de tipocontinuo y se corresponderán con la realización de determinados
sucesos), se ha de especificar la forma de distribución y asignación de las probabilidades
a dichos valores, por medio de las funciones de cuantía (tipo discreto), o de densidad (tipo
continuo) o de distribución (para ambos).
Distribuciones de Tipo Discreto

xi

Conjunto de valores:

i I

Función de cuantía: f xi

P

xi

Pi

Pi 1

i I
iI

Función de distribución: F x

P

x

P

xi

i

I

x

xi x

Valor medio: E

xi Pi

Varianza: V

2

xi

i I

i I

xi2 Pi

Pi

2

2

i I

Ejemplos de Modelos de Tipo Discreto:

Binomial (1, )
Conjunto de valores:

x:{0,1}

Función de cuantía:

f ( x)

P

x

x

1-

1- x

Función de distribución: F ( x)

Valor medio:
Varianza:

V

E

0 1 -

02 1 -

para x

P

0,1

0
P

0
1-

para x 0
si 0 x 1

1para x 1

11

1

12

-

2

-

2

1-

1 de 176

Repaso: Modelos más utilizados y distribuciones conjuntas de variables aleatorias

Estadística Empresarial II

k

Binomial (k, )

siendo

i

Binomial (1 ,

i

) e independientes

i 1

Conjunto de valores:

x : { 0 , 1, 2, … , k-1, k }

Función de cuantía: f ( x)

P

k
x

x

Función de distribución: F ( x)

P

x

x
r x

k

Valor medio: E

k

E

i

k -r1-

x
r 0,1,..., k

para

k
i 1

independientes en probabilidad se obtiene que

i
k

V

r

i

i 1

Varianza: al ser las variables

k
r

para x = 0, 1, …, k

k

E

i 1

k -x

1-

k

V

k

V

i
i 1

1

i

i 1

k

1

i 1

)

Poisson (

Conjunto de valores:

x : { 0 , 1, 2, …

}

Función de cuantía:

f ( x)

P

x =

e-

x

con

x!

0 y para x

0,1,.....

Función de distribución:

F ( x)

P

e-

x
rx

Valor medio:

E

r

0 x

r!

Varianza:

r

0,1,...

V

Distribuciones de Tipo Continuo
Conjunto de valores:

x Ix

Función de densidad:

f x

se cumple que

/ P a

b

b
a

P

f ( x)dx

x

0

x

f ( x)dx 1

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Función de distribución:

F x

Valor medio: E

x f ( x)dx

Varianza: V

P

2

x

x

x

EstadísticaEmpresarial II

f ( x)dx

x2 f ( x)dx

f ( x)dx

2

2

Ejemplos de Modelos de Tipo Continuo:

~ U a, b

Uniforme (a, b)

Conjunto de valores:

1

si x
b a
0
si x

f ( x)

Función de densidad:

F ( x)
Función de distribución: F ( x)

b

Valor medio: E[ ]

Normal (

,

2

a

x

1
b a

~N

)

a, b

1

x

a
dx

b a
F ( x) 1 si x b

,

a

( a b)
2

dx

2

a,b

a, b

0 si x

F ( x)

x

x a
, si b
b aVarianza: V [ ]

Conjunto de valores:

x

a

(b a) 2
12

x

Función de densidad:

f ( x)

1
2

e

1 (x
2

Función de distribución:

Valor medio:

E

)2
2

(2 )

1
2

(

2

)

1
2

e

1 (x
2

)2

x

2

para

0

F ( x)

1
2
Varianza:

x

V

e

1 (x
2

)2
2

dx

para

x

2

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Estadística Empresarial II

1.Distribución bidimensional conjunta
Cuando queramos estudiar o analizar el comportamiento conjunto de dos fenómenos
aleatorios, cada uno representado por una variable aleatoria: 1 y 2, estaremos ante una
variable aleatoria bidimensional

1

,

2

cuyos valores vendrán representados por los

pares (x,y). Al conjunto de estos pares de valores reales que puede tomar la variable
aleatoria

,

acompañadosde sus respectivas probabilidades se le denomina
distribución de probabilidad conjunta.
1

2

Ejemplos:
- Analizar la oferta y demanda de un bien.
- El peso y la altura de un individuo.
- La temperatura y la ocupación hotelera
- El ingreso y el consumo de las familias españolas.

Distribución conjunta de Tipo Discreto
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria bidimensional

,...