Temas variados

CÁLCULO INTEGRAL: 1. La integral indefinida: 1.1. Concepto 1.2. Propiedades de la integral indefinida 2. Integrales inmediatas 3. Métodos elementales de integración: 3.1. Integración por descomposición 3.2. Integración por sustitución o cambio de variable 3.3. Integración por partes 3.4. Integración de funciones racionales: 3.4.1. El denominador solo tiene raíces reales simples 3.4.2. Eldenominador tiene raíces reales múltiples 3.4.3. El denominador admite alguna raíz compleja simple 3.5. Integración de funciones trascendentes 3.5.1. Funciones trigonométricas: 3.5.1.1.La función es impar en sen x 3.5.1.2.La función es impar en cos x 3.5.1.3.La función no es impar en seno ni coseno 3.5.1.4.Método general 3.5.2. Funciones exponenciales 4. El problema del área 4.1. Introducción 4.2.Partición de un segmento 4.3. Sumas superiores e inferiores. Propiedades de las sumas. 5. Definición de integral definida. El área 5.1. Propiedades de la integral definida 5.2. Teorema de la media del cálculo integral. Fórmula del valor medio 5.3. Teorema fundamental del cálculo integral. La función área 5.4. Regla de Barrow 5.5. Otras propiedades de la integral definida 5.6. Métodos elementales deintegración de la integral definida 5.6.1. Integración por cambio de variable 5.6.2. Integración por partes 5.7. Aplicaciones de la integral definida: 5.7.1. Área de una figura plana 5.7.2. Área limitada por las gráficas de dos funciones 5.7.3. Longitud de un arco de curva 5.7.4. Área y volumen de un cuerpo de revolución

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1. La integral indefinida: 1.1. Concepto: Sea la función f(x) definida en[a,b]. Se llama función primitiva de f(x) en [a,b] a cualquier otra función F(x) definida en el mismo intervalo cerrado tal que: F’(x) = f(x) Ejem: Sen x es una primitiva de cos x pues: (sen x)’ = cos x Si F(x) y G(x) son primitivas de f(x), se cumple que: F(x) – G(x) = K En efecto: [F(x) – G(x)]’ = F’(x) – G’(x) = f(x) – f(x) = 0 Por lo tanto: F(x) – G(x) = K Si F(x) es primitiva de f(x) tambiénlo es F(x) + K En efecto: [F(x) + K]’ = f(x) Es decir, que así como la derivada de una función es única, su primitiva no lo es, sino que a una función f(x) le asignamos infinitas primitivas. Al conjunto de todas las primitivas de una función dada se le llama INTEGRAL INDEFINIDA y se acostumbra a escribir: ∫ f ( x)dx = F ( x) + K 1.2. Propiedades de la integral indefinida: Linealidad: Si lasfunciones f(x) y g(x) admiten funciones primitivas en un cierto dominio, se verifica: ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Si la función f(x) admite una función primitiva en un dominio dado, entonces se verifica: ∫ K · f ( x)dx = K ∫ f ( x)dx Los signo de diferenciación e integración se simplifican entre sí. Es decir: d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx ∫ df ( x) = f ( x) + K 2. Integrales inmediatas:Se llaman así a aquellas integrales que se pueden calcular directamente a partir de la definición de derivada. Existen tablas de integrales inmediatas que se elaboran a partir del dominio de las derivadas. (Ver final del tema) 3. Métodos elementales de integración: En este apartado vamos a estudiar algunos procedimientos para el cálculo de la integral indefinida de una función, en el caso de que sepueda expresar por medio de funciones elementales.

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3.1. Integración por descomposición: Se basa en la linealidad de la integral indefinida. Así: ∫ [K1 f ( x) + K 2 g ( x)]dx = K1 ∫ f ( x)dx + K 2 ∫ g ( x)dx Ejem: 5 dx ∫ (3sen x + e 3 + x )dx = 3∫ sen xdx + ∫ e 3 dx + 5∫ x = −3 cos x + 3e 3 + 5 ln x + k
x x x

∫ tg

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xdx = ∫ (1 + tg 2 x − 1)dx = ∫ (1 + tg 2 x)dx − ∫ dx = tgx − x+ K

3.2. Integración por sustitución o cambio de variable: A veces, una integral puede transformarse en otra más sencilla realizando un cambio de variable. Ello puede hacerse de dos maneras: Sea la integral: ∫ f ( x)dx A.- Haciendo el cambio: x = g (t ) donde g(t) es una función derivable, con inversa derivable en el intervalo en que se trabaja. Al Hacer el cambio debe sustituirse dx por...