Temas varios

Tema 3

Sucesiones y Series
3.1.

Sucesiones de n´
umeros reales

Definici´
on 3.1.1 Una sucesi´
on de n´
umeros reales {an } es una aplicaci´
on que
asigna a cada n ∈ N un n´
umero real:
an : N → R
a1 , a2 , a3 . . . son los t´erminos de la sucesi´on.
an es el t´ermino general.
La sucesi´on tambi´en puede empezar en n = 0: a0 , a1 , a2 . . ..
Definici´
on 3.1.2 Una sucesi´on {an } se dice convergente si l´ım an = L, para L
n→∞
finito.
El l´ımite de una sucesi´
on {an } es L si para todo > 0 ∃ N ∈ N tal que si n > N ⇒
|an − L| < ε. (Hay una definici´
on alternativa para L infinito.)
Si la sucesi´on no es convergente, decimos que es divergente.
Las propiedades de los l´ımites de sucesiones son las mismas que las propiedades de los
l´ımites de funciones.
Parahallar el l´ımite de una sucesi´on podemos utilizar algunas t´ecnicas como:
El concepto de l´ımite de una funci´on:
Sea f (x) una funci´on y {an } la sucesi´on f (n) = an .
Si l´ım f (x) = L, entonces l´ım an = L
x→∞

n→∞

Podemos utilizar todas las herramientas para calcular el l´ımite de una funci´on,
como, por ejemplo, la regla de L’Hˆopital.
El lema del Sandwich para sucesiones:
Sil´ım an = l´ım bn (finita o infinita) y {cn } verifica que
n→∞
n→∞
an ≤ cn ≤ bn , ∀ n ∈ N,
entonces l´ım cn = l´ım an = l´ım bn .
n→∞

n→∞

n→∞

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Sucesiones y Series

Definici´
on 3.1.3 Una sucesi´
on {an } se dice:
1. acotada superiormente si ∃ C ∈ R tal que an ≤ C.
2. acotada inferiormente si ∃ C ∈ R tal que an ≥ C.
3. acotada si es acotada superiormente e inferiormente(∃ C1 , C2 ∈ R, t. q. C1 ≤ an ≤ C2 ).
Definici´
on 3.1.4 Una sucesi´
on {an } se dice:
1. mon´
otona creciente si an < an+1 (no decreciente si an ≤ an+1 ).
2. mon´
otona decreciente si an > an+1 (no creciente si an ≥ an+1 ).
3. mon´
otona, si es uno de los casos previos.
Teorema 3.1.5
{an } mon´
otona y acotada ⇒ {an } convergente
Teorema 3.1.6 (Criterio de Stolz) Si las sucesiones{an } y {bn } verifican uno de
los siguientes apartados:
1. {bn } es mon´
otona creciente con l´ım bn = ∞,
n→∞

2. {bn } es mon´
otona decreciente, con bn = 0 para cada n ∈ N y
l´ım an = l´ım bn = 0.

n→∞

n→∞

Siempre que l´ım

an+1 − an
= L, exista parar L finito o infinito, entonces
− bn
an
an+1 − an
l´ım
= l´ım
n→∞ bn
n→∞ bn+1 − bn

n→∞ bn+1

Teorema 3.1.7 (F´
ormulade Stirling)
l´ım

n→∞

n!
√
=1
2πn

nn e−n

3.2. Series de n´
umeros reales

3.2.

3

Series de n´
umeros reales
Una serie es la suma de una sucesi´on de t´erminos
N

rN +1 − 1
.
r−1
n=0
Definici´
on 3.2.1 Sea {an } una sucesi´
on, una serie(infinita) es la suma de todos sus
t´erminos:
rn =

Por ejemplo → la suma geom´etrica:

∞

an = a1 + a2 + a3 + a4 + ·· · .
n=1

La suma parcial de n t´erminos es Sn = a1 + a2 + a3 + · · · an .
Si la sucesi´
on {Sn } de sumas parciales converge al l´ımite S, entonces decimos que la
serie
∞
n=1 an converge, y S es la suma de la serie:
S = l´ım Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + · · · .
n→∞

En otro caso, decimos que la serie diverge.
Propiedades
1.

an y

bn conv ⇒

2. l´ım an = 0 ⇒

an + c2

bn conv.an div.

n→∞

3.

(c1 an + c2 bn ) = c1

an conv ⇒ l´ım an = 0. (Pero l´ım an = 0
n→∞

n→∞

an conv)

Teorema 3.2.2 La suma geom´
etrica converge si 0 < |r| < 1, en este caso
∞

rn =
n=0

1
.
1−r

Teorema 3.2.3 La serie telesc´
opica (an = bn − bn+1 )
∞

(bn − bn+1 ) = (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + (b3 − b4 ) + (b4 − b5 ) + · · ·
n=1

verifica que Sn = b1 − bn+1 .Esta serie converge ⇐⇒ l´ım bn < ∞ y
n→∞

S = b1 − l´ım bn .
n→∞

Teorema 3.2.4 La p-serie (p = 1 es la serie arm´
onica)
∞
n=1

1. converge si p > 1.
2. diverge si 0 < p ≤ 1.

1
1
1
1
1
= p + p + p + p + ··· .
p
n
1
2
3
4

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Sucesiones y Series
CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
1. Criterio de comparaci´
on directa: {an } y {bn } dos sucesiones de...