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APLICACIONES DE LA DERIVADA
. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica
de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener
información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA

RECTA TANGENTE YRECTA NORMAL A UNA CURVA EN UNPUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí. La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta normal La recta normal a una curva en un punto a esaquella que pasa por el punto (a,f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).Ejemplos Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = /8.




 Función creciente en un intervalo

Una función      es creciente en un intervalo    , si para dos valores cualesquiera del intervalo,      y    , se cumple que:Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

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Extremos de una función

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son losvalores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).1 2 3 De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuandoexisten. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

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Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de laprimera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .

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Teorema valor máximo y mínimo
"Sea  un punto crítico de una función  que es continua en un intervalo abierto  que contiene a . Si  es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces  puedeclasificarse como sigue."
1. Si  ' cambia de positiva a negativa en , entonces  tiene un máximo relativo en .
2. Si  ' cambia de negativa a positiva en , entonces  tiene un mínimo relativo en .
3. Si  ' es positiva en ambos lados de  o negativa en ambos lados de c, entonces  no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.

El Criterio o prueba de lasegunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función  es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava haciaabajo en un intervalo abierto que contiene a  y debe ser un máximo relativo de .
TEOREMA
Sea  una función tal que  y la segunda derivada de  existe en un intervalo abierto que contiene a 
1. Si , entonces  tiene un máximo relativo en .
2. Si , entonces  tiene un mínimo relativo en .
Si , entonces el criterio falla. Esto es,  quizás tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo en  o...