Teorema Algebra Lineal

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
ALGEBRA LINEAL
Lizeth Peraza
Diana Cárdenas

TEORMAS Y EJERCICIOS
CAPITULO 1 La estructura de grupo abeliano
Teorema 1
En un conjunto A con una operación *, A tiene elemento idéntico y * cumple la
propiedad bisimétrica, si y sólo si, * es asociativa y conmutativa.
Demostración
1. Supongamosque para todo a, b, c, d. A se cumple la propiedad bisimétrica, es decir,
(a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d) y que existe e ∈ A tal que para todo a ∈ A, e*a = a*e = a;
entonces * es asociativa pues para todo a, b, c ∈ A
a*(b*c) = (a*e)*(b*c) = (a*b)*(e*c) = (a*b)*c.
Luego probamos * es conmutativa pues para todo a, b ∈ A
a*b = (e*a)*(b*e) = (e*b)*(a*e) = b*a.
2. Supongamos ahora que existe e ∈ A unelemento idéntico y * es conmutativa y
asociativa, entonces
(a*b)*(c*d) = a*(b*c)*d = a*(c*b)*d = (a*c)*(b*d).
Teorema 2
Un grupo abeliano es una pareja (G, *) donde G es un conjunto y * es una operación
asociativa, conmutativa y para todo a, b ∈G la ecuación
x + a = b tiene solución.
Demostración
Sea a ∈ G entonces para este a existe ea∈ G tal que
ea + a = a + ea = a y para cada b∈ Gexistey ∈ G tal que y + a = a + y = b
por lo tanto
ea + b = ea + (a + y) = (ea + a) + y = a + y = b = b + ea.
Esto significa que ea es un elemento idéntico en G que notamos e.
Teorema 3
El elemento idéntico e es único.
Demostración
Supongamos que existen dos elementos idénticos e y e’, entonces

e + e’ = e’ porque e es elemento idéntico y
e + e’ = e porque e’ es elemento idéntico
Lo queimplica que e = e’, porque llegamos a una contradicción.
Teorema 4
Para todo a, b, c ∈ G si
a = b entonces a + c = b + c y c + a = c + b
Demostración
Como + es una operación en G, es una función con dominio G × G y codominio G, por
lo tantopara todo a, b, c, d∈ G, si (a, c) = (b, d), esto es, a = b y c = d entonces a + c =
b + d; enparticular como c = d, obtenemos la conclusión. Por G4 tambiénse cumple
que c + a = c + b.
Teorema 5. Propiedad cancelativa:
Para todo a, b ∈ G
Si a + b = a + c entonces b = c.
Si b + a = c + a entonces b = c.
Demostración
Supongamos que a + b = a + c por el axioma G3 existe (– a) ∈G y por el teorema 4,
sumamos (– a) en ambos lados de laigualdad
(– a) + (a + b) = (– a) + (a + c)
((– a) + a) + b = ((– a) + a) + c
por el axioma G1
e+b=e+c
usamosel axioma G3
Y por el axioma G2, concluimos que b = c.
Teorema 6
Para todo elemento a ∈ G, el inverso (– a) es único.
Demostración
Para todo elemento a∈ G; supongamos que atiene dos inversos diferentes (– a) y (– a’)
entonces,
(– a) = e + (– a)
Por ser e el elemento idéntico
= ((– a’) + a) + (– a)
Por ser (– a’) un inverso aditivo de a
= (– a’) + (a + (– a))
Por G1
= (– a’) + e
Porser (– a) un inverso aditivo de a
= (– a’)
Por ser e el elemento idéntico
Corolario. Para todo a, b ∈ G, si a + b = e entonces b = – a.
Demostración
Tenemos a + b = e luego podemos reemplazar e
a + b = a + (-a) y como + es Cancelativa obtenemos b = - a

Teorema 7
Para todo a ∈ G se tiene quea = – (– a).
Demostración
Por el axioma G3 sabemos que
(– a) + a = e
Y por el corolario delteorema 6,
a = – (– a).
Teorema 8
Para todo a, b ∈ G se tiene que– (a + b) = (– a) + (– b).
Demostración
Por el axioma G3, tenemos que
a + (– a) = e y b + (– b) = e
Por el teorema 4 y el axioma G2,
(a + (– a)) + (b + (– b)) = e + e.
De acuerdo con los axiomas G1 y G4,
(a + b) + ((– a)) + (– b)) = e
Finalmente, por el corolario del teorema 6, – (a + b) = (– a) + (– b).
Teorema 9
Para todoa, b ∈ Ga = b si y sólo si – a = – b.
Demostración
Tenemos a = b podemos sumar e a cada lado porque e es elemento idéntico
a+e=b+e
luego reemplazamos por G3
a + (a+(-a)(=b + (b + (-b)) Por propiedad cancelativa porque a = b
a + (-a) = b + (-b) por último, de nuevo usamos propiedad Cancelativa y obtenemos
(-a) = (-b)
Teorema 10
Para todo a, b ∈ G si existe un único elemento x ∈ G tal...