Teorema De Chebyshev Media Y Varianza De Una Distribución De Probabilidad La Distribución Multinomial La Distribución De Poisson. Distribución Hipergeométrica. Distribución Binomial.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

En Estadística se entiende por Fenómeno, cualquier actividad física, cuyos resultados podemos “medir” u “observar”.
Se dice que un fenómeno es binomial cuando tiene las siguientes características:
- El fenómeno es “observable”. No requiere instrumento de medición ni unidad de medida.
- El fenómeno tiene “solo dos resultados”, respecto a la característicaque estamos estudiando. Si tiene o no se tiene. O sea solo hay éxitos o fracasos.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

La distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:
En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?
Son experimentos donde, al igual que en la distribuciónbinomial, en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí:
Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer ensayo saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (hay dependencia entre losdistintos ensayos).
La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

Vamos a tratar de explicarlo:
N: es el número total de bolas en la urna
N1: es el número total de bolas blancas
N2: es el número total de bolas negras
k: es el número de bolas blancas cuya probabilidad se está calculando
n: es el número de ensayos que se realiza


LA DISTRIBUCIÓNDE POISSON.

Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:


Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.
Esta distribución suele utilizarse para contajes deltipo número de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.

Propiedades del modelo de Poisson
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.
3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la sumade parámetros:
X1 ~ P (λ = λ1) y X2 ~ P (λ = λ2)
Y definimos Z = X1 + X2, entonces,
Z ~ P (λ = λ1 + λ2)
Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.

LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

Estemodelo se puede ver como una generalización del Binomial en el que, en lugar de tener dos posibles resultados, tenemos r resultados posibles.
Supongamos que el resultado de una determinada experiencia puede ser r valores distintos: A1, A2,..., Ar cada uno de ellos con probabilidad p1, p2,..., pr, respectivamente.

Si repetimos la experiencia n veces en condiciones independientes, podemospreguntarnos la probabilidad de que el suceso A1 aparezca k1 veces, el suceso A2, k2 veces y así sucesivamente:

Al modelo estadístico que nos da dicha probabilidad se le denomina Multinomial, y su función de densidad viene dada por:

Como se ve, el modelo Multinomial queda definido por los parámetros (n, p1, p2, ..., pr). La fórmula anterior puede deducirse de forma análoga al caso Binomial. Enrealidad, si tomamos r = 2 tenemos exactamente el modelo Binomial.
Se debe destacar que este modelo es un ejemplo de distribución multivariante, es decir, de distribución conjunta de varias (r) variables aleatorio. En efecto, si definimos la variable aleatoria X1 como número de veces que se produce el suceso A1 de un total de n experiencias, y así sucesivamente, tenemos un conjunto de r...