Teorema de chebyshev

Teorema de Chebyshev.

Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, laprobabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos enla probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida.Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.

Podemos argumentar lo mismo para una distribución discreta. En el histograma de probabilidadestándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad, o de un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome unvalor entre estos números.

El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones estándarde su media para cualquier número real κ proporcionaremos la demostración solo para el caso continuo y se deja el caso discreto como ejercicio.

Teorema de Chebyshev: La probabilidad de quecualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / κ2. Es decir

P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1–κ2.

Prueba: por nuestra definiciónanterior de la varianza de X escribimos

σ2 = E [ (X - µ)2] = -∞∫∞ (x + µ)2 ƒ (x) dx = -∞∫ µ- k σ (x + µ)2 ƒ (x) dx + µ- k σ∫ µ+ k σ (x + µ)2 ƒ (x) dx + µ+ k σ ∫∞ (x + µ)2 ƒ (x) dx ≥ -∞∫ µ- k σ (x + µ)2ƒ (x) dx + µ+ k σ∫∞ (x + µ)2 ƒ (x) dx

Ya que la segunda de las tres integrales es no negativa así como | x - µ | ≥ k σ, para cualquier x ≥ µ + k σ o x ≤ µ - k σ tenemos que (x - µ)2 ≥ k2 σ2 en...