Teorema de peno

Tema 1 EL TEOREMA DE PEANO
En este tema vamos a probar que bajo la hip´tesis de ser f continua en o un entorno del punto (x0 , y0 ), se puede garantizar la existencia, aunque no necesariamente la unicidad, de soluci´n local del Problema de Cauchy o (P C) y = f (x, y) y(x0 ) = y0 .

La justificaci´n de la existencia de soluci´n local del (PC) la vamos a realizar o o mediante la construcci´n deuna familia de funciones continuas (las denominadas o poligonales de Euler) de las que se podr´ extraer una sucesi´n que converja a o uniformemente, en un entorno de x0 , a una funci´n que resultar´ ser soluci´n o a o del Problema de Cauchy en dicho entorno. Para poder llevar a cabo nuestro estudio, necesitamos un an´lisis previo de a los conjuntos compactos en el espacio C(I; RN ) de las funcionescontinuas en un intervalo cerrado y acotado I = [a, b], con valores en RN .

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Compacidad en C(I; RN ): el Teorema de AscoliArzel´ a

Recordemos que C(I; RN ) es un espacio de Banach (es decir, un espacio normado completo), si sobre el mismo consideramos la norma del supremo definida por ϕ C(I;RN ) := m´x |ϕ(x)|, donde por | · | denotamos a una norma fijada en RN a
x∈I

(por ejemplo laeuclidiana; recu´rdese a este respecto que todas las normas en e RN son equivalentes). Se˜alemos tambi´n que, como se puede comprobar de inmediato, una sucesi´n n e o de funciones {ϕn }n≥1 en C(I; RN ) es convergente a ϕ en dicho espacio si y s´lo o si la sucesi´n {ϕn }n≥1 es uniformemente convergente a ϕ en el intervalo cerrado o y acotado I, es decir, para todo ε > 0 existe un nε , dependientes´lamente de o ε, tal que |ϕn (x) − ϕ(x)| ≤ ε para todo x ∈ I, para todo n ≥ nε . De manera general, sea E un espacio normado. Suponemos bien conocidas las siguientes afirmaciones: a) Un conjunto K ⊂ E es un subconjunto compacto de E si y s´lo si K es o secuencialmente compacto, es decir, de toda sucesi´n de elementos de K o se puede extraer una subsucesi´n convergente en E a un elemento de K. o b) Unconjunto F ⊂ E se dice que es un subconjunto relativamente compacto de E si su clausura F en E es un compacto de E. Se satisface que F ⊂ E 1

es un subconjunto relativamente compacto de E si y s´lo si F es secueno cialmente relativamente compacto, es decir, de toda sucesi´n de elementos o de F se puede extraer una subsucesi´n convergente en E (a un elemento o no necesariamente de F ). c) Si K ⊂E es un subconjunto compacto de E, entonces K es cerrado y acotado en E. Sin embargo, el rec´ ıproco de esta afirmaci´n no es cierta, o salvo que E sea de dimensi´n finita (lema de Riesz). o As´ pues, si F ⊂ C(I; RN ) es un compacto de de C(I; RN ), entonces F es ı en particular un subconjunto acotado de C(I; RN ), es decir, existe M > 0 finito tal que |ϕ(x)| ≤ M para todo x ∈ I, para toda ϕ ∈ F.(1) Por razones evidentes, cuando se satisface (1), se dice tambi´n que F es unie formemente acotada en I. Teniendo en cuenta la afirmaci´n c), y dado que C(I; RN ) es un espacio o que no es de dimensi´n finita, no todo cerrado y acotado de dicho espacio ser´ o a un compacto del mismo. Para caracterizar los compactos de dicho espacio, necesitamos introducir el concepto de equicontinuidad. Definici´n1.1 Se dice que F ⊂ C(I; RN ) es equicontinua en I si para todo o ε > 0 existe un δ > 0, que s´lo depende de ε, tal que si x1 y x2 pertenecen a I y o satisfacen |x1 − x2 | ≤ δ, entonces necesariamente |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| ≤ ε para toda ϕ ∈ F. Observaci´n 1.2 Es inmediato ver que si F ⊂ C(I; RN ) est´ constituida por o a un n´mero finito de funciones, entonces es equicontinua en I. u Por otra parte, sedeja como ejercicio comprobar que si F ⊂ C 1 (I; RN ) es tal que la familia de derivadas {ϕ : ϕ ∈ F} es un subconjunto acotado de C(I; RN ), entonces F es equicontinua en I. Estamos ahora en condiciones de caracterizar los compactos de de C(I; RN ). Teorema 1.3 (Teorema de Ascoli-Arzel´) Una familia F ⊂ C(I; RN ) es a un subconjunto relativamente compacto de C(I; RN ) si y s´lo si F es uniformeo...