Teorema fundamental del algebra

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Ferran Mir Sabaté Universitat de Barcelona March 4, 2005
Abstract La historia del Teorema Fundamental del Álgebra, con un exámen detallado de la demostración de Pierre Simon de Laplace de 1795.

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EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.

El teorema fundamental del álgebra (TFA) dice que "toda ecuación polinómica de grado n con coe…cientes complejos tiene nraíces complejas". De hecho existen múltiples formulaciones equivalentes; por ejemplo que todo polinomio real puede expresarse como producto de factores reales lineales y cuadráticos. 1 Los primeros estudios de las ecuaciones de Al-Khwarizmi (c 800) sólo permitían las raíces reales positivas y, por tanto, el TFA no tenía relevancia alguna. Fue Cardano el primero en darse cuenta de que se podíatrabajar con cantidades más generales que los números reales. Este descubrimiento lo hizo estudiando la ecuación cúbica con el …n de encontrar una fórmula para encontrar sus raíces. Cuandop aplicó su fórmula a la ecuación x3 = 15x + 4 obtuvo una solución que 121, cuando Cardano sabía que la solución debía ser x = 4. A pesar incluía de que Cardano fue capaz de manipular estos ’ números complejos’ larealidad , es que él mismo no los entendió en profundidad. Fue Bombelli, en su Algebra, publicada en 1572, el primero en dar una serie de reglas para manipular estos ’ números complejos’(reglas de los signos: meno
1 Gilain en su artículo de 1991 [3, pag. 92] da tres formas equivalentes de formularlo: a) Todo polinomio de grado n 1 con coe…cientes complejos (o reales) tiene al menos una raízcompleja. b) Todo polinomio de grado n 1 con coe…cientes complejos (o reales) se descompone en un producto de n factores lineales con coe…cientes complejos y admite n raíces complejas (distintas o múltiples). c) Todo polinomio de grado n 1 con coe…cientes reales puede descomponerse en un producto de factores reales de primer o segundo grado.

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polinomios de x y el grado de Q(x) es superior al deP (x). En este contexto, hay que señalar que Newton ya había a…rmado que las soluciones imaginarias sólo pueden darse en pares conjugados. Bernoulli, por su parte, relaciona los números complejos con las funciones circulares4 . Leibniz en 1702 dió una prueba de que el TFA era falso a…rmando que x4 + a4 nunca podría ser de…nido como producto de factores cuadráticos reales. Su error procedía dedescomponer el polinomio de la siguiente forma: x4 + pp pp p p p p a4 = x + a 1 x a 1 x+a 1 x a 1 , sin darse cuenta de que puede obtenerse una descomposición más sencilla desde:
2 De hecho, Girard [4, Pags.407-408] acepta tres tipos de soluciones: "mayores que nada, p p menores que nada y otras ’ envueltas’ como las que tienen , como 3 u otros números similares ". Son curiosas las razones de Girardpara aceptar estas ’ soluciones imposibles’ como , él las llama: "Para asegurar la certeza de la regla general, para asegurarse de que no existen otras soluciones y por su utilidad " 3 Gilain, en su artículo sobre el TFA [3, pags. 92-93], distingue entre dos teoremas distintos: el teorema de factorización lineal o teorema de Kronecker (todo polinomio de grado n, tiene exactamente n raíces) y elteorema fundamental del álgebra o teorema de d’ Alembert tal como se ha expresado. Por ello, Gilain no considera que Girard, Descartes y otros autores de los siglos XVII y XVIII, tengan nada que ver con la historia del TFA. Sin embargo, esta opinión no es compartida por otros autores, ver [4, Pag. 407]: "En la primera parte del teorema, Girard a…rma la verdad del teorema fundamental del álgebra, quetoda ecuación polinómica tiene un número de soluciones iguales a su grado". Z 4 Bernoulli

di meno, piu di meno, etc.). Descartes en su La Geometrie, publicada en 1637, dice que se puede imaginar para toda ecuación de grado n, n raíces, pero estas raíces imaginarias no corresponden a ninguna cantidad real. El primer matemático en declarar que las ecuaciones de grado n tienen n raíces fue...