Teoremas de factorizacion

INTRODUCCIÓN
La presente investigación pretende ser una introducción a los teoremas de isomorfismos que fueron formulados en una cierta generalidad para los homomorfismos para grupos, para desarrollar este tema debemos conocer las propiedades que poseen los grupos, subgrupos, subgrupos normales, grupos cocientes.
Estos teoremas de factorización también se conocen como teoremas de isomorfismosde Noether, llevan este nombre gracias a la matemática Amalie Emmy Noether (23 de marzo de 1882 – 14 de abril de 1935).
El trabajo de Noether en matemáticas se divide en tres épocas:[ ]En la primera, efectuó contribuciones significativas a la teoría de los invariantes y de los cuerpos numéricos. Su trabajo sobre los invariantes diferenciales en el cálculo de variaciones, el llamado teorema deNoether ha sido llamado "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás probados de entre los que guían el desarrollo de la física moderna".[] En su segunda época, comenzó trabajos que "cambiaron la faz del álgebra abstracta, trans[]formó la teoría de ideales en los anillos conmutativos en una poderosa herramienta matemática con aplicaciones muy variadas. En la tercera época, publicó susprincipales obras sobre álgebras no conmutativas y números hipercomplejos y unió la teoría de la representación de los grupos con la teoría de módulos e ideales.

CAPÍTULO I
GRUPOS
DEFINICIÓN 1.1
Un par ordenado (G,*) formado por un conjunto G y una ley de composición interna (*) que verifica las siguientes propiedades:
1) * es una ley de composición interna si
∀ x,y ϵ G :x*y ϵ G
2) *es asociativa si
∀ x,y,z ϵ G:a*y*z=a*(y*z)
3) * posee elemento neutro si
∃ e ϵ G:a*e=e*a=a, ∀a ϵ G
4) Todo elemento de G posee elemento simétrico o inverso si
∀ x ϵ G, ∃ x-1 ϵ G: x*x-1=x-1*x=e

Si además cumple con la propiedad conmutativa
∀ x,y ϵ G:x*y=y*x Entonces es un grupo conmutativo o abeliano.

Observación:
Todo grupo G es distinto del vacio G≠∅ , ya que existe elelemento neutro en el grupo.

PROPOSICIÓN 1.1
Si (G,*) es un grupo entonces se cumplen las siguientes propiedades:
i) El elemento neutro es único.
ii) ∀ x ϵ G, su simétrico es único.
iii) ∀ x ϵ G, (x-1)-1=x
iv) ∀ x,y ϵ G, (xy)-1=y-1x-1
v) Si ab=ac ⟺b=c, ∀ a,b,c ϵ G Ley cancelativa a izquierda.
ba=ca ⟺b=c, ∀ a,b,c ϵ G Ley cancelativa a derecha.
Demostración:
i) Seane y e' elementos neutros de G y e ≠ e'
* Como e es elemento neutro de G entonces ∀ a ϵ G, a*e=e*a=a (1)
* Como e' es elemento neutro de G entonces ∀ a ϵ G, a*e'=e'*a=a(2)
* Luego para a=e' en (1) se tiene e'*e=e*e'=e' (3)
* Luego para a=e en (2) se tiene e*e'=e'*e=e (4)
Luego de (3) y (4) se tiene que e=e' porlo que sería una contradicción ya que por hipótesis tenemos que e ≠ e'
→/←

ii) Para todo a ϵ G, sus simétricos es único,
Hipótesis,
a1 es un inverso de a, a ϵ G con a1 ≠ a2
a2 es un inverso de a, a ϵ G con a1 ≠ a2
Si a1 es un inverso de a ⇒ a1*a=a*a1=e (1)
Si a2 es un inverso de a ⇒ a2*a=a*a2=e (2)
Luego de(1) y (2) se tiene,

a1*a*a2=a1*a*a2
=a1*e
=a1

a2*a*a1=a2*a*a1
=a2*e
=a2
Entonces, a1=a2
→/←

iii) Si x ϵG , (x-1)-1=x
Entonces, x-1-1=x-1-1*e
=(x-1)-1*(x-1*x)
=x-1-1*x-1*x
=e*x
=x

iv) ∀ x,y ϵ G, (xy)-1=y-1x-1
Sea G un grupo,
∃ x-1 ϵ G: x*x-1=e ∧ x-1*x=e
∃ y-1 ϵ G:y*y-1=e ∧...