Teoremas de limite

Teoremas sobre límites
Teorema
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único. 

H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace porreducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo xperteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un εtal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
f(x) pertenece a Eb,ε
f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x)no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.
Definición
Límites laterales
Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
limx->a+f(x)=b paratodo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
limx->a-f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a- δ,a) |f(x) - b| < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). 
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x perteneceal entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto dellímite por la derecha.
Ejemplo
f(x) = x2 si x 2

   
limx->2-f(x)=4
limx->2+f(x)=-3
No existe limx->2f(x)
Teorema
Existe el límite finito de una función los límites laterales son iguales.H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Demostración:
Directo:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x)...