Teoremas sobre limites

Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)
Sea una función definida en un intervalo tal que .
Si y entonces .


O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.

Teorema 2
Si son números reales entonces

Ejemplos:
1.
2.

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a. con , en
b.con en

Ejemplos:
1.
2.
3.
4.


Teorema 3
Si y es un número real entonces se cumple que


Ejemplos:
1.
2.

Teorema 4

Si entonces .

Ejemplos:
1.
2.
Teorema 5

Si y son dos funciones para las que y entonces se cumple que:




Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, esigual a la suma de los límites de cada una de las funciones.

Ejemplos:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.
Teorema 6

Si y son dos funciones para las que y entonces se cumple que


Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones.
Ejemplos:
1.2.
3.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones
Corolario

Si entonces

Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:


(n factores)

Ejemplos:
1.
2.
En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del límite de . Es decir
Ejemplos:
1.
2.Teorema 7

Si y son dos funciones para las cuales y entonces se tiene que:
siempre que





Teorema 8

siempre que


Ejemplos de los teoremas 7 y 8
1.
2.
3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)
4. (por teorema 7)
(por teorema 5)
(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)

5.
Observe que en este ejemplo se han aplicadodirectamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.

Teorema 9

Si si:
i.
es cualquier número positivo.
ii.
es impar.

Ejemplos:
1.
2.
3.
4.


Teorema 10
Si , entonces si se cumple alguna de las condiciones siguiente:
i.
es cualquier entero positivo ( ).
ii.
es un entero impar positivo.Ejemplos:
1.
2.
3.

Teorema 11
Si , y son funciones tales que para todo de cierto entorno reducido y además entonces se cumple que .


El teorema anterior nos dice que si para próximo a , la función está comprendida entre dos funciones que tienden a un mismo límite , entonces también tiende a .
Gráficamente podemos tener lo siguiente:


Por ejemplo,si es una función tal que y como entonces se tiene que .
Sea ahora una función tal que
Se tiene que
Luego
Teorema de unicidad

El lim f(x) existe y es igual a L si y solo si lim f(x) y lim f(x) existe y son iguales a L
x->a x->a- x->a+
Definición de límiteslaterales o unilaterales

Definición de límite por la derecha
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la derecha de en "a".





Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .

Definición de límite por la izquierda
Se dice que si y solo si para cada existe tal que sientonces es el límite por la izquierda de en "a".




Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.
Ejemplo:
Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:

Primero hagamos la gráfica de la función:...