Teoria De Colas

El modelo M/M/1
En primer lugar, se describe el modelo:
1.
: El proceso de llegadas es de Poisson homógeneo con tasa .

Sea T la variable aleatoria que representa el tiempo entre dos llegadas consecutivas.
Sea t>0 y representemos por n(t) el número de llegadas al sistema hasta el instante t.
Como los incrementos son independientes:

luego . Recíprocamente, se tiene el siguienteresultado:
Si  son independientes, siendo Ti  el tiempo transcurrido entre las llegadas (i-1)-ésima e i-ésima, todas ellas con distribución , entonces .
Demostración:
 
 

(El último paso se hace considerando la expresión de la función gamma)
 
2.
: Siempre que el servidor esté ocupado, el proceso de salida es de Poisson homogéneo de tasa .

Razonando como antes, se tiene que lostiempos de servicio son .
3.
: El sistema tiene un único servidor y capacidad infinita.
Se trata de un proceso de nacimiento y muerte con tasa de nacimiento , y tasa de muerte ,.
Debe observarse que la distribución exponencial tiene ausencia de memoria, es decir, si  Exp(), entonces

La demostración de esta propiedad es inmediata observando la expresión de la función de distribuciónasociada.
Ahora se puede proceder a analizar el comportamiento del sistema. Se define la intensidad del tráfico como

Si , no se alcanza el estado estacionario, mientras que si , entonces sí que se llega a este estado.
Sea Pn(t)=P(N(t)=n) la probabilidad de que en el instante t haya n clientes en el sistema. Yendo a las ecuaciones que se obtuvieron para un proceso de nacimiento y muerte,tenenos que

En el estado estacionario (a partir de aquí suponemos ya ) se tiene el siguiente sistema, denominado ecuaciones de equilibrio:

Así, como la suma de todas las probabilidades debe ser uno y , se tiene

Luego

En consecuencia, la variable N (distribución estacionaria del número de clientes en el sistema) sigue una distribución geométrica . Se sigue que

De igual modo, si por Lse representa el número de clientes en cola en el estdo estacionario, entonces

Las probabilidades asociadas son

La esperanza de esta variable es

Finalmente, consideremos la variable V, tiempo de espera virtual en estdo estacionario. Se trata de una variable mixta:

S'1 es el tiempo de servicio restante del cliente que está en el servidor. Haciendo uso de la propiedad de pérdida dememoria de la variable exponencial (pues ) se tiene

por lo que  y es indistinto considerar la variable S1 o la variable S'1 a efectos de calcular probabilidades.
Ahora ya podemos calcular la función de distribución FV  asociada a la variable V.
Si v=0 entonces

Si v>0, haciendo uso del teorema de la probabilidad compuesta (pues el valor n asociado a v es aleatorio) y del hecho de quese tiene

Luego

Análisis de los ciclos de ocupación y desocupación
Sea T0= la longitud de un ciclo de desocupación y sea T1= la longitud de un ciclo de ocupación. La longitud (media) de un ciclo de ocupación y desocupación (en estado estacionario) será E(T0+T1). Como, por la propiedad de pérdida de memoria, se tiene que , entonces . Por otra parte, como P0 representa la proporción detiempo que el servidor está desocupado (o lo que es lo mismo, el sistema está vacío) en estado estacionario, entonces

Diagrama de flujos para M/M/1
Definimos un grafo como sigue:
* cada nodo representa un estado,
* cada arco representa una transición entre estados,
* en los arcos se indica la tasa de cambio.

 
Ahora vemos que se obtienen las mismas ecuaciones que se teníananteriormente, pues considerando que se produce una conservación de flujos en el grafo se tiene:

Interpretación: como  y  son, respectivamente, el número medio de llegadas y el de servicios por unidad de tiempo, entonces , y  son a su vez el número de llegadas, el de servicios y el de sucesos por unidad de tiempo en el estado n.
 
Control de una cola con un solo servidor
Vamos a tratar...