Teoria de errores

CÁLCULO NUMÉRICO (0258)
Tema 1. Fundamentos de Teoría de Errores
Evaluación de funciones y condicionamiento
Semana 01 – Clase 02 – Viernes 19/10/12
Objetivos a lograr:
• Comparar técnicas importantes para la evaluación eficiente de polinomios y funciones racionales
• Caracterizar algunos aspectos relevantes del trabajo con expresiones numéricas sobre plataformas de aritmética finita
•Justificar la utilización del MATLAB como software para el desarrollo y puesta en práctica de algunos métodos
numéricos de interés

32. Observación de interés. Cuando se utiliza el computador para evaluar funciones dadas
por fórmulas, la forma en que vienen dadas dichas fórmulas no es algo que carece de
importancia. Expresiones matemáticamente equivalentes pueden tener una aplicación muydistinta en lo que a cálculos aproximados se refiere. Todo esto da lugar a un problema de
importancia práctica como es el de encontrar las expresiones analíticas convenientes para las
funciones elementales. El cálculo del valor de las funciones se reduce ordinariamente a una
secuencia de operaciones aritméticas elementales. Se estudiarán a continuación algunas
técnicas típicas de cálculo.
33.Evaluación de polinomios. Suponga un polinomio de grado n

P(x) = anxn + an −1xn −1 + ... + a1x + a0

(1)

con coeficientes reales ak (k = 0,1,...,n), y se quiere calcular el valor de este polinomio para
x = ξ:

P(ξ) = anξn + an −1ξn −1 + ... + a1ξ + a0 .

(2)

El cálculo de P(ξ) se realiza de forma más conveniente si la fórmula (2) se presenta de la
forma

P(ξ) = (...(((anξ + an −1 )ξ +an − 2 )ξ + ... + a1 )ξ + a0 )
Calcule a continuación en forma sucesiva los números
bn = an ,

bn −1 = an −1 + bnξ,

bn − 2 = an − 2 + bn −1ξ,
⋮
b0 = a0 + b1ξ

(3)

con b0 = P(ξ). A continuación se probará que los números bn , bn-1 , ..., b2 , b1 son coeficientes
del polinomio Q(x), obtenidos como cocientes de la división del polinomio dado P(x) entre el
binomio x − ξ. En efecto, setiene

Q(x) = βnxn −1 + βn −1xn − 2 + ... + β2 x + β1

(4)

y
P(x) = Q(x)(x − ξ) + β0 .

(5)

Con base en el teorema del resto, el resto es β0 = P(ξ). De las fórmulas (4) y (5) se tiene
P(x) = (βnxn −1 + βn −1xn − 2 + ... + β2 x + β1 )(x − ξ) + β0 .
Quitando paréntesis y agrupando términos se tiene

P(x) = βnxn + (βn −1 − βnξ)xn −1 + (βn − 2 − βn −1ξ)xn − 2 + ... + (β1 − β2 ξ)x +(β0 − β1ξ).

Prof. José Luis Quintero

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Comparando coeficientes de potencias idénticas de la variable x en la parte derecha e
izquierda de esta ecuación se tiene

βn = an
βn −1 − βnξ = an −1

βn − 2 − βn −1ξ = an − 2
⋮
β1 − β2 ξ = a1
β0 − β1ξ = a0
de donde

βn = an = bn
βn −1 = an −1 + βnξ = bn −1
βn − 2 = an − 2 + βn −1ξ = bn − 2
⋮
β1 = a1 + β2 ξ = b1
β0 = a0 + β1ξ = b0lo cual completa la demostración. Las fórmulas (3) permiten, sin realizar la operación de
división, determinar los coeficientes del cociente Q(x), así como del resto P(ξ).
34. Método de Horner. En la práctica, los cálculos se efectúan de acuerdo con un algoritmo
denominado método de Horner:

an
ξ
bn

an −1 ⋯

a1

a0

.
bnξ ⋯ b2 ξ
b1ξ
bn −1 ⋯ b1 b0 = P(ξ)

Si se utiliza laevaluación directa, se necesitarán: n adiciones y 2n − 1 multiplicaciones
distintas, o sea, un total de 3n − 1 operaciones aritméticas, sin considerar operaciones
diferentes, se necesitarán n(n + 1) 2 multiplicaciones, o sea, un total de n(n + 3) 2 operaciones

aritméticas para evaluar P(x) . Al utilizar el método de Horner, se necesitarán: n adiciones y n
multiplicaciones, o sea, un total de 2noperaciones aritméticas para evaluar P(x) .
Un segundo uso del método de Horner es expresar el desarrollo de Taylor de un polinomio
alrededor de cualquier punto. Tome P(x) tal como se presenta en la ecuación (1) y suponga
que se buscan los coeficientes ck de la ecuación

P(x) = anxn + an −1xn −1 + ... + a1x + a0 = cn (x − ξ)n + cn −1(x − ξ)n −1 + ... + c1(x − ξ) + c0 .
Es obvio por el...