Teoria de juegos de nash

Teoría de Juegos: Punto de negociación de Nash
Publicado en Tendencias Políticas, Teoría de Juegos por unamdsp en Octubre 4, 2009
En los juegos cooperativos, los jugadores pueden realizar negociaciones y llegar a acuerdos entre ellos. Este tipo de juegos pueden ser además subdivididos entre los que permiten la transferencia de utilidades y los que no.
Lo básico por entender es que un jugadorpuede ser cooperativo y racional al mismo tiempo. Así, ser cooperativo no implica ser altruista. De esta manera los jugadores pueden maximizar sus ganancias cuando estan dispuestos a negociar una solución que sea satisfactoria para todas las partes. El matemático John Nash modeló este tipo de comportamiento en forma matemática.
Ejemplo: La repartición de $100
En este ejemplo dos personas, unorico y otro pobre se encuentran con un genio de la lámpara en la calle. El genio ofrece $100 para repartir entre ellos, con la condición de que los dos lleguen a un acuerdo en la forma de repartir el dinero entre ellos.
La pregunta en este ejemplo es como se repartirán el dinero los implicados. La teoría de Nash ofrece una respuesta a este problema formulando una serie de axiomas, brindando unasolución de negociación única.
La teoría de Nash predice lo que pasaría si ambas partes actúan en forma estrictamente racional.  La respuesta de la teoría de Nash no es necesariamente justa como veremos a continuación.
Definamos a como la región de las utilidades. Sean los puntos y la salida de las utilidades que tendría correspondientemente cada jugador si es que no llegan a un acuerdo. A estepunto se le conoce como punto de amenaza.
Ahora consideremos la existencia de una función que realice el mapeo del conjunto de posibles regiones de utilidad y el conjunto de posibles puntos amenaza hacia una salida negociada expresada por :

Para definir esta función, Nash definió una serie de axiomas que limitan el comportamiento de la posible función deseada. Bajo esos axiomas, Nash propuso lasiguiente función:

Los axiomas propuestos por Nash son:
* Factibilidad de la Negociación: Esta condición establece que las utilidades obtenidas debido a la negociación no pueden ser peores que las que hubieran obtenido los jugadores si no hubieran realizado alguna negociación.
* Óptimo Pareto: La salida negociada se debe encontrar en la frontera Pareto de la región de utilidades. Estoes: no existe una solución que sea mejor para los dos jugadores simultáneamente, por lo que ningún tipo de negociación razonada escogería este punto.
* Independiente de alternativas irrelevantes: Si y entonces, . De esta manera, si una negociación en la región de utiliades brinda una salida en la región de utilidades , que es un subconjunto de , entonces una negociación en la región nos daría elmismo resultado.
* Simetría: Si la región de utiliades de simétrica para , entonces .  De esta manera si la región de utilidades es simétrica alrededor de una línea de 45°, entonces la salida negociada se encontrará sobre esta línea.
Regresemos al problema de la repartición de los $100 empleando los axiomas de Nash. Para plantear al problema en una forma más precisa, debemos asumir que lautilidad del dinero es logarítmica con respecto a la cantidad poseida. Asumamos que el hombre rico es infinitamente rico, supongamos mientras que el hombre pobre apenas tiene en total.
Definamos a como la cantidad que gana en la negociación. Después de la negociación la utilidad poseída por será:

mientras que la utilidad para es:

El punto de amenaza, es la utilidad que tendría cada uno de losjugadores si la negociación no es fructífera. Este punto sería , en donde los dos jugadores se quedan con la cantidad que tenían al inicio de las negociaciones.
Ahora, empleamos la función propuesta por Nash:

La solución puede ser encontrada fácilmente de forma gŕafica.

Gráfica obtenida para la negociación de Nash
Con las condiciones planteadas en este problema, el valor negociado ....