Teoria Dinamica

RESPUESTA DINAMICA
DE LAS
ESTRUCTURAS

Sergio Oller, Eduardo Car
Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniería,
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Universitat Politécnica de Catalunya.
(Abril-1999)

RESPUESTA DINAMICA
DE LAS
ESTRUCTURAS
Parte 1

Sergio Oller

Indice

Oscilaciones Forzadas Amortiguadas – Armónicas

1

Ecuación delmovimiento

1

Solución particular inhomogénea – Forma (1)

2

Solución particular inhomogénea – Forma (2)

3

Observaciones sobre la respuesta forzada amortiguada

5

Características del movimiento amortiguado-forzado

6

Determinación del amortiguamiento por resonancia

10

Determinación del amortiguamiento por decremento logarítmico

11

Determinación fe las constantes B1-B2

13

Ejemplos sobreOscilaciones Forzadas Amortiguadas

15

Aislamiento de vibraciones

24

Respuesta al desplazamiento en la base

24

Aislamiento Absoluto - Transmisibilidad absoluta

24

Aislamiento Relativo - Transmisibilidad relativa

28

Fuerza transmitida a la base

31

Ejemplos sobre Oscilaciones Forzadas Amortiguadas

34

Problemas a resolver

44

Obtención de las fuerzas del sistema amortiguado

46

Anexo1

Oscilaciones Forzadas Amortiguadas - Armónicas
• Ecuación del Movimiento
S

F sin ( ω1t )

y

o

K

Fo sin ( ω1t )
K

S
u

x

FE
FI

Feff

FS
•

Ecuación expresada en Fuerzas,
FI ( t ) + FS ( t ) + FE ( t ) = Feff ( t )
M u&&( t ) + S u& (t ) + K u( t ) = F0 sen( ω1 t )

•

Ecuación expresada en aceleraciones,
u&&(t ) +

S
K
F
u& ( t ) +
u( t ) = o sen ( ω1 t )
M
M
M

u&&(t ) + 2 ν ω1 u& ( t ) +ω12 u (t ) =

Sol. Compuesta

Fo
sen ( ω1 t )
M

= Sol. Particular Inhomogénea + Sol. General Homogénea
u (t ) = u p ( t ) + u g ( t )

Donde ω1 es la frecuencia natural del oscilador y ω1 es la frecuencia de la forzante.

2

Solución Particular Inhomogénea
Forma (1):
u p ( t ) = A sen( ω1 t + ψ)

ψ =: ángulo de fase

Sustituyendo esta solución en la ecuación del movimiento y sus derivadas,
u& p( t ) = ω1 A cos( ω1 t + ψ)
u&& p ( t ) = − ω12 A sen( ω1 t + ψ)
&u&&p ( t ) = − ω13 A cos( ω1 t + ψ )
F

2
2
− ω1 A sen(ω1 t + ψ) + 2ν ω1ω1 A cos(ω1 t + ψ) + ω1 A sen(ω1 t + ψ) = 0 sen(ω1 t + ψ)

M

− ω3 A cos(ω t + ψ) − 2ν ω ω2 A cos(ω t + ψ) + ω2 ω A cos(ω t + ψ) = ω F0 cos(ω t + ψ)
 1
1
1 1
1
1 1
1
1 M
1

resultan las magnitudes para las constantes de la solución particular,
Factor deRespuesta
A=

F0
K (1 − α 2 ) 2 + 4 ν 2 α 2

Angulo de fase

tg ψ = −

2ν α
1 − α2

; con : α =

ω1
ω1

y la solución compuesta, resulta ahora:


F0
νω1 t
u (t ) = 
sen( ω1t + ψ ) + 1
e −4
C4
sen(
ω1'4
t+
)
4
4
2
4
4ϕ
4
3
 K (1 − α 2 ) 2 + 4 ν 2 α 2

SOLUCION HOMOGENEA
1444444
424444444
3

[

SOLUCION PARTICULAR

(

)]

PARTE TRANSITORIA

donde ω1' es la frecuencia amortiguada y ϕ es elángulo de fase entre la resultante del
movimiento y el desplazamiento. Las constantes de integración, se obtienen para las
condiciones iniciales. Es decir

t=0

u( t = 0) = u0

u& ( t = 0) = u& 0

⇒ C , ϕ

3

Solución Particular Inhomogénea
Forma (2):
u p ( t ) = B1p sen( ω1 t ) + B2p cos( ω1 t )

Solución Particular

Sustituyendo en la ecuación diferencial del movimiento y separando losmúltiplos del
sin ( ω1 t ) y del cos( ω1 t ) , se tiene,

[
[

]
]

Fo

p 2
p
p 2
sen( ω1 t )
 − B1 ω1 − B2 ω1 (2νω1 ) + B1 ω1 sen( ω1 t ) =
M

 − B p ω 2 + B p ω (2 νω ) + B p ω 2 cos( ω t ) = 0
1
1

2 1
1 1
2 1
Estas dos relaciones pueden satisfacerse individualmente, porque el sin ( ω1 t ) y el
cos( ω1 t ) se hacen nulos en tiempos distintos y en fases opuestas. Dividiendo ambas
relaciones por ω12, cancelando las funciones trigonométricas y reagrupando, se tiene,
 p F
1 − α2
  B1 = 0
K (1 − α 2 ) 2 + ( 2 να) 2
 
⇒
 
− 2να
  B p = F0
  2
2 2
K (1 − α ) + ( 2 να) 2


F0
 p
2
p
 B1 (1 − α ) − B2 ( 2 να) =
K

p
2
p
 B (1 − α ) + B ( 2να) = 0
 2
1
Sustituyendo en la solución particular, resulta
u p (t ) =

[

F0
1
(1 − α 2 ) sen( ω1 t ) − ( 2να) cos( ω1t )
2 2
2
K (1 − α )...