Terminaciones nerviosas

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 1

Página 190
PRACTICA
Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo α en cada uno de estos triánb)

m

5,3

cm

α

c)
18,2

α

cm
α

cm

c
2,4

15

a)

11,6 cm

gulos:

8,2 cm

a) sen α = 2,4 = 0,45
5,3

tg α = 0,45 = 0,5
0,89

cos α = √1 – 0,45 2 = 0,89

b) tg α = 11,6 = 1,41 La hipotenusa h es: h =√11,6 2 + 8,2 2 = 14,2
8,2
sen α = 11,6 = 0,82 cos α = 8,2 = 0,58
14,2
14,2
c) cos α = 15 = 0,82
18,2

sen α = √1 – (0,82) 2 = 0,57

tg α = 0,57 = 0,69
0,82
∧

2 Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso:
a)

b)

B

A
13 mm

20 mm

36 mm

C

34,5 mm

38 mm

A
28 mm

B

C

a) sen B = 28 = 0,81
34,5
cos B = 20 = 0,58
34,5
tg B = 28 = 1,4
20

b) sen B = 13 = 0,34
38
cos B =36 = 0,95
38
tg B = 13 = 0,36
36

3 Calcula las razones trigonométricas de β:
☛ Construye un triángulo trazando una perpendicular a uno de los lados.

Unidad 8. Trigonometría

β

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Pág. 2

sen β = 25 = 0,61
41
cos β = 32,5 = 0,79
41
tg β = 25 0,77
32,5

41 mm
25 mm

β

32,5 mm

4 Prueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y ADB son
∧rectángulos. Halla sen B en los dos triángulos (el verde y el total) y comprueba que obtienes el mismo valor.
A

C

20 cm

12 cm

15 cm

9 cm

D

B

16 cm

—
Triángulo ABC: √20 2 + 15 2 = 25 = CB → ABC es un triángulo rectángulo.
Triángulo ADB: √12 2 + 16 2 = 20 → ADB es un triángulo rectángulo.
^
En ABC: sen B = 15 = 0,6
9 + 16

^
En ADB: sen B = 12 = 0,6
20
∧

∧

∧

∧

5 Calcula las razonestrigonométricas de los ángulos A y C , ABD y CBD.
B

m

2 cm

3c

A

C

4,2 cm

D

^
• sen A = 2
3
^

cos A =
^

tg A =

√ () √
2
1– —
3

2

=

5 √5
=
3
9

2/3
2
2 √5
=
=
5
√ 5/3 √ 5
^

^
^
^
• tg C = 2 = 0,48 → sen C^ = 0,48 → sen C = 0,48 · cos C
4,2
cos C
^

^

^

^

^

(sen C ) 2 + (cos C ) 2 = 1 → (0,48 cos C ) 2 + (cos C ) 2 = 1 → cos C = 0,9
^

sen C = 0,48 · 0,9 = 0,43
Unidad 8. Trigonometría81

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Pág. 3

• Llamamos α = ABD:
cos α = 2
3

()

(sen α) 2 + (cos α) 2 = 1 → (sen α) 2 + 2
3

2

= 1 → (sen α) 2 = 1 – 4 →
9

√5
→ (sen α) 2 = 5 → sen α =
3
9
√ 5/3 = √ 5
tg α = sen α =
2/3
2
cos α
• Llamamos β = CBD:
tg β = 4,2 = 2,1 →
2

sen β = 2,1 → sen β = 2,1 · cos β
cos β

(sen β) 2 + (cos β) 2 = 1 → (2,1 · cos β) 2 + (cos β) 2 = 1 → cos β = 0,43sen β = 2,1 · cos β = 2,1 · 0,43 = 0,9
Relaciones fundamentales

6 Si sen α = 3/5, calcula cos α y tg α utilizando las relaciones fundamentales
(α < 90°).
sen α = 3 (α < 90°)
5
cos α = √1 – (sen α) 2 =

√ () √
3
1– —
5

2

=

9
1–— =
25

√

16 4
=
→ cos α = 4
5
25 5

tg α = sen α = 3/5 = 3 → tg α = 3
cos α 4/5 4
4

7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen α y cos α sabiendo que tg α = 3
(α <90°).
tg α = 3 (α < 90°)
sen α = 3
cos α
sen 2 α + cos 2 α = 1
→ cos α =









sen α = 3cos α
(3cos α) 2 + (cos α) 2 = 1 → 10cos 2 α = 1 →

1
√ 10
→ cos α =
10
√ 10

Unidad 8. Trigonometría

→ sen α =

3√ 10
10

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8 Completa esta tabla:
sen α

0,92

0,6

0,99 √5 /3

0,2 √3 /2

cos α

0,39

0,8

0,12

0,98

1/2

tg α

2,35

0,75

8,27 √5/2

0,2

√3

2/3

En todos los casos solo tomaremos valores positivos.
• sen α = 0,92 → cos α = √1 – (0,92) 2 = 0,39
tg α = 0,92 = 2,35
0,39
• tg α = 0,75
sen α = 0,75 → sen α = 0,75 · cos α
cos α
(sen α) 2 + (cos α) 2 = 1 → (0,75 · cos α) 2 + (cos α) 2 = 1 →
→ (cos α) 2 = 0,64 → cos α = 0,8
sen α = 0,75 · 0,8 = 0,6
• cos α = 0,12 → sen α = √1 – (0,12) 2 = 0,99
tg α = 0,99 = 8,27
0,12

√5

• tg α=

2

sen α = √ 5 → sen α = √ 5 cos α
2
2
cos α
(sen α) 2 + (cos α) 2 = 1
5 (cos α) 2 + (cos α) 2 = 1 → 9 (cos α) 2 = 1
4
4
(cos α) 2 = 4 → cos α = 2
9
3
sen α =

√5 · 2 = √5
2

3

3

• sen α = 0,2 → cos α = √1 – 0,2 2 = 0,98
tg α = 0,2 = 0,2
0,98
• cos α = 1 → sen α =
2
tg α =

√ 3/2 = √3
1/2

Unidad 8. Trigonometría

√ () √
1
1– —
2

2

=

3
4

→ sen α =

√3
2

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