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Tipos de Sistemas Axiomáticos
1.Sintácticos.
Llamados también cálculos o sistemas no interpretados, que se caracterizan por el hecho de que sus expresiones carecen de significado, están compuestos por fórmulas entendidas como meras sucesiones de signos. Losaxiomas y teoremas son consecuentemente fórmulas vacías, puesto quecontienen signos que no tienen referencia.
2.Semánticos.
Tambiénconocidos como Interpretados los cuales están formados por enunciados, es decir, oraciones que poseen significados y valores de verdad.

Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal:
Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatoriasque hacen de la secuencia una fórmula bien formada.
Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.
Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. Enparticular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.
Componentes de un sistema axiomático formal]

Un sistemaaxiomático formal consta de los siguientes elementos:
Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye:
Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas, cuantificadores
Un conjunto de símbolos para designar variables
Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija).
Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones.
Un conjunto desímbolos que serán interpretados como relaciones.
Una gramática formal que incluirá:
Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.
Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" del lengua formal.
Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquierdeducción.
Para el conjunto de expresiones bien formadas exresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relacionesmatemáticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.

Componentes de los Sistemas Axiomáticos
Según el enfoque moderno se enunciaran los que forman parte de lossistemassintácticos, que ciertos agregados que bajo ciertas condiciones serán sistemassemánticos.
Los términos primitivos o alfabeto básico son un listado de signos que no selo definen dentro del sistema y que podrán ser utilizados para definir otros.Además se pueden dividir en signos propios o impropios. 
*Los Signos propios son aquellos que al ser interpretados o se lesasignasignificados se refieren a objetos específicos de la teoría. Pueden ser constantes (se refiere a entidades determinadas) y Variables (se refiere alugares que puedan ser ocupados por distintas entidades que constituyen edominio de la variable) 
*Los signos impropios son aquellos que pertenecen a la lógica subyacente presupuesta en los sistemas matemáticos y explicitados en los sistemaslógicos. 
*Morfología. En todo sistemas se establecen explícita o implícitamente lasformas en...