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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ EN EL ESTADO DE CAMPECHE









INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

TERCER SEMESTRE GRUPO B


MATEMÁTICAS IV (ACM-0406)
Álgebra Lineal

ING. JULIO CÉSAR PECH SALAZAR


Subtema 5.1

Definición de transformación lineal y sus propiedades







Material de apoyo
MATEMÁTICAS IV

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALESClave de la asignatura: ACM-0406

|UNIDAD |NOMBRE |TEMAS Y SUBTEMAS |
|v |Transformaciones lineales |Definición de transformación lineal y sus propiedades |


5.1 Definición de transformación lineal y suspropiedades.

Transformaciones lineales.
 
Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V ( W, que es lineal, esto es para todo u,v ( V y todo a,b ( R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.
Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a ( R y todo u,v ( V, las dos condiciones: T(au) = aTuy T(u + v) = Tu + Tv.
En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo.

para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.
Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:
T0V= T(00V) = 0T0V = 0W.
 
Para todo espacio V, la función identidad, I: V ( V, que a todo vector v ( V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.
Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ( W, en la que todo vector v ( Vtiene por imagen el vector 0W, también es lineal.
Siguen algunos ejemplos de transformaciones lineales.
 
1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea ( v1,...,vm ( una base de V sobre R. Se define una función T: V ( R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si
v( = b1v1 +...+ bmvm, entonces:
T(av + bv() = T[(aa1+ bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] =
aa1 + bb1 = aTv + bTv(.
2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V ( Rm definida por:
T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.
3. La derivación de polinomios, D: R[X] ( R[X], es lineal.
4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea
w ( V un vector de norma 1. La función T: V ( V que a cada v ( V le asocia laproyección ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y
T(au + bv) = [(au + bv).w]w = a(u.w)w + b(v.w)w = aTu +bTv.
5. Si V = V1 ( V2, todo v ( V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1 ( V1 y v2 ( V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2, como la función T: V ( V dada por Tv = v1 para todo v ( V.
Esta función es linealporque si u = u1 + u2, con u1 ( V1
y u2 ( V2, entonces au + bv = au1 + bv1 + au2 + bv2 y
T(au + bv) = T(au1 + bv1 + au2 + bv2) = au1 + bv1 = aTu + bTv
Se señaló en el capítulo anterior que puede ocurrir que:
V = V1 ( V2 = V1 ( W, con V2 ( W. En ese caso la proyección de V sobre V1 según V2, es diferente de la proyección de V
sobre V1 según W, porque entonces se tendrá para algunos vectoresv de V, v = v1 + v2 = v(1 + w, con v1,v(1 ( V1,
v2 ( V2 y w ( W, donde v2 ( w y por lo tanto v1 ( v(1. Luego la proyección de v sobre V1 según V2 es v1, mientras que la proyección de v sobre V1 según W es v(1 ( v1.

Si S y T son dos transformaciones lineales de V en W, se obtiene otra transformación lineal de V en W, la suma de S y T, definiendo:
(S + T)v = Sv + Tv para...